1)

Vì $n$ là số lẻ nên $n=2k+1$

$\,\,\,\,\,{{n}^{4}}-10{{n}^{2}}+9$

$=\left( {{n}^{2}}-9 \right)\left( {{n}^{2}}-1 \right)$

$=\left( n-3 \right)\left( n+3 \right)\left( n-1 \right)\left( n+1 \right)$

$=\left( 2k-2 \right)\left( 2k+4 \right)\left( 2k \right)\left( 2k+2 \right)$

$=2\left( k-1 \right).2\left( k+2 \right).2\left( k \right).2\left( k+1 \right)$

$=16\left( k-1 \right)\left( k \right)\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)$

Vì $\left( k-1 \right)\,\,,\,\,\left( k \right)\,\,,\,\,\left( k+1 \right)\,\,,\,\,\left( k+2 \right)$  là 4 số tự nhiên liên tiếp nên chắc chắn sẽ có một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3, một số chia hết cho 4

$\to \left( k-1 \right)\left( k \right)\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\,\,\,\vdots \,\,\,\left( 2.3.4 \right)$

$\to 16\left( k-1 \right)\left( k \right)\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\,\,\,\vdots \,\,\,\left( 16.2.3.4 \right)$

$\to {{n}^{4}}-10{{n}^{2}}+9\,\,\,\vdots \,\,\,384$

2)

$P=\dfrac{{{x}^{5}}}{120}+\dfrac{{{x}^{4}}}{12}+\dfrac{7{{x}^{3}}}{24}+\dfrac{5{{x}^{2}}}{12}+\dfrac{x}{5}$

$P=\dfrac{{{x}^{5}}+10{{x}^{4}}+35{{x}^{3}}+50{{x}^{2}}+24x}{120}$

$P=\dfrac{x\left( {{x}^{4}}+10{{x}^{3}}+35{{x}^{2}}+50x+24 \right)}{120}$

$P=\dfrac{x\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)\left( x+4 \right)}{120}$

Vì $x\,\,,\,\,\left( x+1 \right)\,\,,\,\,\left( x+2 \right)\,\,,\,\,\left( x+3 \right)\,\,,\,\,\left( x+4 \right)$ là 5 số tự nhiên liên tiếp nên chắc chắn sẽ có một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3, một số chia hết cho 4, một số chia hết cho 5

$\to x\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)\left( x+4 \right)\,\,\,\vdots \,\,\,\left( 2.3.4.5 \right)$

$\to {{x}^{5}}+10{{x}^{4}}+35{{x}^{3}}+50{{x}^{2}}+24x\,\,\,\vdots \,\,\,120$

Vì $x\in N$ và tử chia hết cho mẫu nên

$P=\dfrac{{{x}^{5}}}{120}+\dfrac{{{x}^{4}}}{12}+\dfrac{7{{x}^{3}}}{24}+\dfrac{5{{x}^{2}}}{12}+\dfrac{x}{5}$  luôn là số tự nhiên

3)

$S={{n}^{8}}-{{n}^{4}}$

$S={{n}^{4}}\left( {{n}^{4}}-1 \right)$

$S={{n}^{4}}\left( {{n}^{2}}+1 \right)\left( {{n}^{2}}-1 \right)$

$S={{n}^{4}}\left( {{n}^{2}}+1 \right)\left( n-1 \right)\left( n+1 \right)$

$\bullet \,\,\,\,\,$Ta có $n\left( n-1 \right)\left( n+1 \right)$ là 3 số tự nhiên liên tiếp nên chắc chắn sẽ có 1 số chia hết cho 3

Vậy $S$ luôn chia hết cho $3$

$\bullet \,\,\,\,\,$Nếu $n$ là số chẵn thì $n=2k$

$S={{\left( 2k \right)}^{4}}\left( 4{{k}^{2}}+1 \right)\left( 2k-1 \right)\left( 2k+1 \right)$

$S=16{{k}^{4}}\left( 4{{k}^{2}}+1 \right)\left( 2k-1 \right)\left( 2k+1 \right)\,\,\,\vdots \,\,\,16$

$\bullet \,\,\,\,\,$Nếu $n$ là số lẻ thì

${{n}^{2}}+1$ là số chẵn sẽ chia hết cho 2

$n-1$ là số chẵn sẽ chia hết cho 2

$n+1$ là số chẵn sẽ chia hết cho 2

Mà $n-1$ và $n+1$ là 2 số chẵn liên tiếp nên sẽ có $1$ số chia hết cho $4$

$\to S\,\,\,\vdots \,\,\,\left( 2.2.4 \right)$

$\to S\,\,\,\vdots \,\,\,16$

Vậy nếu $n$ là số chẵn hay $n$ là số lẻ thì $S$ luôn chia hết cho$16$

$\bullet \,\,\,\,\,$Xét $n=5k$$\to S\,\,\,\vdots \,\,\,5$

$\bullet \,\,\,\,\,$Xét $n=5k\pm 1$

$S={{n}^{4}}\left( {{n}^{2}}+1 \right)\left( {{n}^{2}}-1 \right)$

$S={{n}^{4}}\left( {{n}^{2}}+1 \right)\left[ {{\left( 5k\pm 1 \right)}^{2}}-1 \right]$

$S={{n}^{4}}\left( {{n}^{2}}+1 \right)\left( 25{{k}^{2}}\pm 10k \right)\,\,\,\vdots \,\,\,5$

$\bullet \,\,\,\,\,$Xét $n=5k\pm 2$

$S={{n}^{4}}\left( {{n}^{2}}+1 \right)\left( {{n}^{2}}-1 \right)$

$S={{n}^{4}}\left[ {{\left( 5k\pm 2 \right)}^{2}}+1 \right]\left( {{n}^{2}}-1 \right)$

$S={{n}^{4}}\left( 25{{k}^{2}}\pm 20k+5 \right)\left( {{n}^{2}}-1 \right)\,\,\,\vdots \,\,\,5$

Vậy $S$ luôn chia hết cho $5$

$\bullet \,\,\,\,\,$Kết luận:

$S\,\,\,\vdots \,\,\,\left( 3.16.5 \right)$

$S\,\,\,\vdots \,\,\,240$