1

a) Gọi số tự nhiên là a
Tổng 2 số tự nhiên không chia hết cho 2
⇒Trong đó có 1 số là chẵn : 2a
Hoặc 1 số lẻ : 2a + 1 hay (2a-1)
Nhận thấy đúng vì : 2a + 1 + 2a = 4a +1$\not\vdots$2

Hay 2a-1+2a=4a-1$\not\vdots$2

Vậy nếu tổng 2 số tự nhiên không chia hết cho 2 thì tích của chúng chia hết cho 2 (đpcm)

b) Cho a; b ∈ N

Nếu a và b cùng chẵn⇒ ab (a+b) chia hết 2
Nếu a chẵn, b lẻ hoặc a lẻ, b chẵn ⇒ ab (a+b) chia hết 2
Nếu a và b cùng lẻ ⇒ (a+b) chẵn ⇒ (a+b) chia hết 2
Vậy nếu a, b ∈ N thì ab (a+b) chia hết 2

2. 

Gọi số nguyên tố đó là n :

Ta có:

n; n + 1 đều là số nguyên tố.
Trong các số nguyên tố, chỉ có duy nhất một cặp như vậy, đó là 2 và 3.

Vậy số cần tìm là 2

3.

a) Để 23.k là số nguyên tố thì 23.k chỉ có thể chia hết cho 1 và 23.k

⇒23.k=23.1

Vậy số tự nhiên k là 1

b) Gọi hợp số bất kì là 2n (n∈N*, N>1)

⇒Tất cả các hợp số đều là số chẵn

2 là số nguyên tố chẵn duy nhất vì nó chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.

4. 

Ta có:

${aaa=111.a=3.37.a}$

⇒3 ước khác 1 của a duy nhất là: 3, 37, 111

${⇒aaa=111}$

Giải thích các bước giải:

1.

a)Nếu tích của hai số tự nhiên không chia hết cho 2 thì hai số đều là số lẻ  . Vì vậy tổng của chúng chi hết cho 2  điều này mâu thuẫn với giả thieets của bài toán 

Vậy tích của hai số đó chia hết cho 2

b) -Nếu a và b cùng là số chẵn thì ab.(a+b) chia hết cho 2

    -Nếu ala chẵn , b là lẻ hoặc a là lẻ ,b là chẵn thì ab.(a+b) chia hết cho 2

    -Nếu a và b cùng là lẻ thì (a+b) chẵn nên (a+b) chia hết cho 2 ,vậy ab.(a+b) chia hết cho 2

Vậy nếu a và b thuộc N thì ab.(a+b) chia hết cho 2

2.

    p=2. Số liền sau của 2 là 3 cũng nguyên tố

3.

a)Nếu k > 1 thì 3k có ít nhất ba ước là 1, 3, k; nghĩa là nếu k > 1 thì 3k là một hợp số. Do đó để 3k là một số nguyên tố thì k = 1.

b)2 là số nguyên tố chẵn duy nhất vì nó có 2 ước la 1 và chính nó còn những số chẵn khác chia hết cho 2 

4.

aaaaaa¯ = 111.a = 3.37.a chỉ có 3 ước số khác 1 là 3; 37; 3.37 khác a = 1.

Vậy số phải tìm là 111

(Nết a ⋮⋮ 2 thì 3.37.a có nhiều hơn 3 ước số khác 1)