Giải thích các bước giải:

a) ĐKXĐ: $x\in R$

Ta có: $(m+1)x-m+2\ge 0$(1)

+ Nếu $m+1=0$ hay $m=-1$ thì (1) trở thành: $3\ge 0$ (Luôn đúng với mọi $x$)

Suy ra (1) có nghiệm với mọi x khi $m=-1$$\to m=-1$ loại.

+ Nếu $m+1> 0$ hay $m> -1$ thì (1) trở thành: $x\ge \dfrac{m-2}{m+1}$

Suy ra (1) có nghiệm khi $m> -1$$\to m>-1$ loại.

+ Nếu $m+1< 0$ hay $m< -1$ thì (1) trở thành: $x\le \dfrac{m-2}{m+1}$

Suy ra (1) có nghiệm khi $m<-1$$\to m<-1$ loại.

Vậy không tồn tại m để bất phương tình vô nghiệm.

b) ĐKXĐ: $x\in R$

Ta có: $ x^2-mx+m+3\ge 0$ có tập nghiệm là $R$ khi và chỉ khi

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \begin{cases}a>0\\\Delta  \le 0\end{cases}\\
 \Leftrightarrow \begin{cases}1>0\text{ (luôn đúng)}\\{( - m)^2} - 4(m + 3) \le 0\end{cases}\\
 \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 12 \le 0\\
 \Leftrightarrow  - 2 \le m \le 6
\end{array}$

Vậy $m\in [-2;6]$ thỏa mãn đề bài

c) ĐKXĐ: $x\in R$

Ta có: $mx^2-4(m+1)x+m-5>0$ (1)

+ Nếu $m=0$ thì (1) trở thành: $-4x-5>0\Leftrightarrow x<\dfrac{-5}{4}$

Suy ra (1) có nghiệm khi $m=0$$\to m=0$ loại.

+ Nếu $m\ne 0$ thì (1) vô nghiệm khi và chỉ khi

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 0\\
\Delta ' \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 0\\
{\left( { - 2(m + 1)} \right)^2} - m(m - 5) \le 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 0\\
3{m^2} + 13m + 4 \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 0\\
 - 4 \le m \le \dfrac{{ - 1}}{3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 4 \le m \le \dfrac{{ - 1}}{3}
\end{array}$

Vậy $ m \in [-4;\dfrac{{ - 1}}{3}]$ thỏa mãn đề bài.