Đáp án:
Bài 1:a) Xét ΔABH và ΔCAH có:
+ $\widehat{AHB} = \widehat{ CHA} = 90^o$
+ $\widehat{ ABH} = \widehat{ CAH}$ (cùng phụ với $\widehat{ BAH}$)
`=>` ΔABH ~ ΔCAH (g-g)
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \dfrac{{BH}}{{AH}} = \dfrac{{AH}}{{CH}}\\
\Rightarrow BH.HC = A{H^2}
\end{array}$
Xét ΔHAE và ΔCAH có:
+ $\widehat{ HEA} = \widehat{ CHA} = 90^o$
+ $\widehat{ HAE}$ chung
`=> ΔHAE ~ ΔCAH` (g-g)
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AH}} = \dfrac{{AH}}{{AC}}\\
\Rightarrow AE.AC = A{H^2}
\end{array}$
`=> AE.AC=HB.HC` $(=AH^2)$
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giac vuông:
$\begin{array}{l}
+ \Delta ABC:AB.AC = BC.AH\\
\Rightarrow BC = \dfrac{{AB.AC}}{{AH}}\\
+ \Delta AHB:B{H^2} = AB.BD\\
\Rightarrow BD = \dfrac{{B{H^2}}}{{AB}}\\
+ \Delta AHC:C{H^2} = AC.CE\\
\Rightarrow CE = \dfrac{{C{H^2}}}{{AC}}\\
\Rightarrow BD.CE = \dfrac{{A{H^4}}}{{AB.AC}}\left( {Do:A{H^2} = HB.HC} \right)\\
\Rightarrow BD.CE.BC = \dfrac{{A{H^4}}}{{AB.AC}}.BC = A{H^3}.\dfrac{{AH.BC}}{{AB.AC}}\\
\Rightarrow BD.CE.BC = A{H^3}
\end{array}$
Bài 2:
a)
Xét ΔABH và ΔAHD có:
+ $\widehat{AHB} = \widehat{ ADH} = 90^o$
+ $\widehat{ ABH}$ chung
`=> ΔABH ~ ΔAHD` (g-g)
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AH}} = \dfrac{{AH}}{{AD}}\\
\Rightarrow AB.AD = A{H^2}
\end{array}$
b)Tương tự ta cm được:
$\begin{array}{l}
AE.AC = A{H^2}\\
\Rightarrow AB.AD = AE.AC\\
\text{Xét: }\Delta ADE;\Delta ABC:\\
+ \widehat {DAE}\,chung\\
+ AB.AD = AE.AC\\
\Rightarrow \Delta ADE \sim \Delta ACB\left( {c - g - c} \right)\\
\text{c) Do: }\Delta ADE \sim \Delta ACB\\
\Rightarrow \widehat {DEA} = \widehat {CBA}\text{ hai góc tương ứng bằng nhau}\\
\Rightarrow \widehat {DEA} + \widehat {DEC} = \widehat {DBC} + \widehat {DEC}\\
\Rightarrow \widehat {AEC} = \widehat {DBC} + \widehat {DEC}\\
\Rightarrow \widehat {DBC} + \widehat {DEC} = {180^0}
\end{array}$
