Ta có: 0 ≤ c ≤ 1 => 1-c ≥ 0
0 ≤ b ≤ 1 => 1-b ≥ 0
=> (1-b)(1-c) ≥ 0
<=> 1 - b - c + bc ≥ 0
<=> bc + 1 ≥ b + c
Ta lại có 0 ≤ b ≤ c ≤ 1 => bc ≥ 0
0 ≤ a ≤ 1 => 1 ≥ a
Cộng vế theo vế:
bc + 1 + bc + 1 ≥ a + b + c + 0
<=> 2(bc + 1) ≥ a + b + c
=> $\frac{1}{2(bc + 1)}$ ≤ $\frac{1}{a + b + c}$
<=> $\frac{2a}{2(bc + 1)}$ ≤ $\frac{2a}{a + b + c}$
<=> $\frac{a}{bc + 1}$ ≤ $\frac{2a}{a + b + c}$ (1)
Tương tự như trên ta sẽ chứng minh được:
$\frac{b}{ac + 1}$ ≤ $\frac{2b}{a + b + c}$ (2)
$\frac{c}{ab + 1}$ ≤ $\frac{2c}{a + b + c}$ (3)
Cộng vế theo vế các đẳng thức (1) , (2) va (3) ta được:
$\frac{a}{bc + 1}$ + $\frac{b}{ac + 1}$ + $\frac{c}{ab + 1}$ ≤ $\frac{2a}{a + b + c}$ + $\frac{2b}{a + b + c}$ + $\frac{2c}{a + b + c}$
<=> $\frac{a}{bc + 1}$ + $\frac{b}{ac + 1}$ + $\frac{c}{ab + 1}$ ≤ $\frac{2a+2b+2c}{a + b + c}$
<=> $\frac{a}{bc + 1}$ + $\frac{b}{ac + 1}$ + $\frac{c}{ab + 1}$ ≤ $\frac{2(a + b + c)}{a + b + c}$
<=> $\frac{a}{bc + 1}$ + $\frac{b}{ac + 1}$ + $\frac{c}{ab + 1}$ ≤ 2 (đpcm)