Đáp án: $B$
Giải thích các bước giải:
Gọi $AC\cap BD=O\to O$ là trung điểm mỗi đường
Gọi $SO\cap MN=E, AF\perp SO=F$
Ta có $ABCD$ là hình vuông $\to AC\perp BD$
Mà $SA\perp ABCD\to SA\perp BD\to BD\perp SAC$
$\to BD\perp AF$
Lại có $AF\perp SO\to AF\perp SBD$
$\to \widehat{(AMN,SBD)}=\widehat{AEF}$
Ta tính được $AC=BD=a\sqrt{2}\to AO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$SO=\sqrt{SA^2+AO^2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
Do $SA\perp AO, AF\perp SO$
$\to\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{AO^2}+\dfrac{1}{SA^2}=3\to AF=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$
$\to FO=\sqrt{AO^2-AF^2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$
Vì M,N là trung điểm SB,SD
$\to MN//BD\to E$ là trung điểm SO
$\to EO=\dfrac12SO=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$
$\to EF=EO-FO=\dfrac{a\sqrt{6}}{12}$
$\to AE=\sqrt{EF^2+AF^2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$
$\to \sin\widehat{AEF}=\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
