Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) CN là đường kính của (O) ⇒ ∠CMN = 90o ⇒ ∠AMC = 90o (1)
AB = AC và OB = OC ⇒ AP là trung trực BC ⇒ AO⊥BC ⇒ ∠AHC = 90o (2)
Từ (1) và (2) ⇒ AMHC nội tiếp đường tròn đường kính AC
b) Xét 2 ΔAIB và ΔMIA có:
∠IAB = ∠OAB = ∠OCB ( vì ABOC nội tiếp) = ∠NCB = ∠NMB ( cùng chắn cung NB của (O)) = ∠IMA đối đỉnh
⇒ ΔAIB ~ ΔMIA (g.g vì có chung góc I) ⇒ IA/IB = IM/IA ⇔ IA² = IM.IB (*)
Mặt khác xét 2 Δ BHM và ΔCAM có
Theo câu a) AMHC nội tiếp ⇒ ∠BHM = ∠CAM (3)( cùng bù với ∠CHM)
∠HBM = ∠CBM = ∠ACM (4) ( góc nội tiếp chắn cung CM = góc tao bởi tiếp tuyến và dây cung CM)
Từ (3) và (4) ⇒ Δ BHM ~ ΔCAM (g.g) ⇒ ∠BMH = ∠CMA = 90o
Δ vuông IHB vuông tại H đương cao HM nên có : IH² = IM.IB (**)
Từ (*) và (**) ⇒ IA = IH hay I là trung điểm của AH
c) Theo câu a) AMHC nội tiếp ⇒ ∠HMN = ∠HCA ( cùng bù với ∠HMA) = ∠BCA = ∠BNC ( góc nội tiếp chắn cung BC = góc tao bởi tiếp tuyến và dây cung BC) = ∠KON ( so le trong ) = 2.∠KMN ( góc ở tâm = 2 góc nội tiếp cùng chắn cung KN)
⇒ MK là phân giác ∠HMN mà MP⊥MK ( PK là đường kính của (O)) ⇒ MP là phân giác ∠AMH.
Áp dụng tính chất phân giác trong và ngoài của ΔAMH ta có:
HP/AP = HK/AK ⇔ (AH - AP)/AH.AP = (AK - AH)/AH.AK ⇔ 1/AP - 1/AH = 1/AH - 1/AK
⇔ 1/AP + 1/AK = 2/AH = 2/(2AI) ⇔ 1/AP + 1/AK = 1/AI (đpcm)
