Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ. Giải sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\frac{b^2}{(c+a)^2+5ca}-\frac{3}{4}(a+b)^2\)

Ngan8844

5 năm trước

Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.

Giải sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\frac{b^2}{(c+a)^2+5ca}-\frac{3}{4}(a+b)^2\)

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 449 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

vongocnguyen_2111

Áp dụng BĐT Côsi
\(\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}\geq \frac{a^2}{(b+c)^2+\frac{5}{4}(b+c)^2}=\frac{4a^2}{9(b+c)^2}\)
Tương tự
\(\frac{b^2}{(c+a)^2+5ca}=\frac{4b^2}{9(c+a)^2}\)
\(\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\frac{b^2}{(c+a)^2+5ca}\geq \frac{4}{9} \left ( \frac{a^2}{(b+c)^2}+\frac{b^2}{(c+a)^2} \right )\geq \frac{2}{9}\left ( \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a} \right )\)
\(=\frac{2}{9}\left ( \frac{a^2+b^2+c(a+b)^2}{ab+c(a+b)+c^2} \right ) \geq \frac{2}{9}\left ( \frac{\frac{(a+b)^2}{2}+c(a+b)}{\frac{(a+b)^2}{4}+c(a+b)+c^2} \right )^2\)
\(=\frac{2}{9}\left ( \frac{2(a+b)^2+4c(a+b)}{(a+b)^2+4c(a+b)+4c^2} \right )^2\)
Vì \(a+b+c=1\Leftrightarrow a+b=1-c\) nên ta có
\(P\geq \frac{2}{9}\left ( \frac{2(1-c)^2+4c(1-c)}{(1-c)^2+4c(1-c)+4c^2} \right )^2 -\frac{3}{4}(1-c)^2\)
\(=\frac{8}{9}(1-\frac{2}{c+1})^2-\frac{3}{4}(1-c)^2 \ \ (1)\)
Xét há số
\(f(c)=\frac{8}{9}(1-\frac{2}{c+1})^2-\frac{3}{4}(1-c)^2,c\in (0;1)\)
\(f'(c)=\frac{16}{9}(1-\frac{2}{c+1}).\frac{2}{(c+1)^2}-\frac{3}{2}(c-1)\)
\(f'(c)=0\Leftrightarrow c=\frac{1}{3}\)
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(f(c)\geq -\frac{1}{9},\forall c\in (0;1)\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(P\geq -\frac{1}{9}\), dấu bằng xảy ra khi a = b = c = \(\frac{1}{3}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \(-\frac{1}{9}\)

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Giải bất phương trình: \(log_x(3-\sqrt{1-2x+x^2})> 1\)

Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn \(c=min\left \{ a,b,c \right \}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=\frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\sqrt{a+b+c}\)

Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!

Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} log_2(xy)^2-2log_4\frac{x}{y}=3\\ 4^{x+y}-2^{\frac{xy}{2}}-62=0 \end{matrix}\right.(x,y\in R)\)

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=\frac{2x+1}{x-2}\)

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((P): x-y+z-1=0\) và điểm A(1, 1,2) . Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua A và vuông góc với (P). Tính bán kính của mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng \(\Delta\), đi qua A và tiếp xúc với (P).

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại \(B, AB=2a,\widehat{BAC}=60^0\) cạnh bên SA vuông góc với đáy và \(SA=a\sqrt{3}\).Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CM.

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, \(AB=a, AD=2\sqrt{2}a\) . Hình
chiếu vuông góc của điểm S trên mp(ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với mp(ABCD) một góc 450 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo a.

Cho hàm số: \(y=-x^3+3x^2-4\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -9.

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn \(a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)\leq \frac{4}{3}\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\)

Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a \(\in\) [0;1], b \(\in\) [0;2],c \(\in\) [0;3] . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{2(2ab+ac+bc)}{1+2a+b+3c}+\frac{8-b}{b+c+b(a+c)+8}+\frac{b}{\sqrt{12a^2+3b^2+27c^2}+8}\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến