Gọi I là trung điểm của BD. Vì tam giác ABD đều và tam giác BCD cân tại C nên { A I ⊥ B D C I ⊥ B D \left\{\begin{matrix} AI \perp BD\\ CI \perp BD \end{matrix}\right. { A I ⊥ B D C I ⊥ B D
Suy ra A, I, C thẳng hàng, A C ⊥ B D AC \perp BD A C ⊥ B D
Tam giác ABD đều cạnh a, suy ra B D = a ; B I = 1 2 a ; A I = a 3 2 BD=a;BI=\frac{1}{2}a;AI=\frac{a\sqrt{3}}{2} B D = a ; B I = 2 1 a ; A I = 2 a 3
Tam giác BCD cân tại C và B C D = 12 0 ∘ BCD =120^{\circ} B C D = 1 2 0 ∘ B C I = 6 0 ∘ . BCI=60^{\circ}. B C I = 6 0 ∘ .
I C = B I tan 6 0 ∘ = a 2 3 ; B C = B I sin 6 0 ∘ = a 3 3 IC=\frac{BI}{\tan 60^{\circ}}=\frac{a}{2\sqrt{3}};BC=\frac{BI}{\sin 60^{\circ}}=\frac{a\sqrt{3}}{3} I C = tan 6 0 ∘ B I = 2 3 a ; B C = sin 6 0 ∘ B I = 3 a 3
+ A C = A I + I C = a 3 2 + a 3 6 = 2 a 3 3 AC=AI+IC=\frac{a\sqrt{3}}{2}+\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{2a\sqrt{3}}{3} A C = A I + I C = 2 a 3 + 6 a 3 = 3 2 a 3
Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc nên có diện tích:
S A B C D = 1 2 A C . B D = a 2 3 3 S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC.BD=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{3} S A B C D = 2 1 A C . B D = 3 a 2 3
Suy ra thể tích khối chóp S.ABCD là: V = 1 3 S A . S A B C D = 3 9 a 3 V=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\frac{\sqrt{3}}{9}a^{3} V = 3 1 S A . S A B C D = 9 3 a 3
Tính khoảng cách
Gọi K là hình chiếu của A trên đường thẳng SI, suy ra A K ⊥ S I AK \perp SI A K ⊥ S I
Mặt khác { B D ⊥ A C B D ⊥ S A ⇒ A K ⊥ B D \left\{\begin{matrix} BD \perp AC\\ BD \perp SA \end{matrix}\right.\Rightarrow AK \perp BD { B D ⊥ A C B D ⊥ S A ⇒ A K ⊥ B D A K ⊥ ( S B D ) . AK \perp (SBD). A K ⊥ ( S B D ) .
Vậy d ( A ; ( S B D ) ) = A K d(A;(SBD))=AK d ( A ; ( S B D ) ) = A K
Tam giác SAI vuông tại A và có đường cao AK nên:
1 A K 2 = 1 A S 2 + 1 A I 2 = 7 3 a 2 ⇒ A K = a 21 7 \frac{1}{AK^{2}}=\frac{1}{AS^{2}}+\frac{1}{AI^{2}}=\frac{7}{3a^{2}}\Rightarrow AK=\frac{a\sqrt{21}}{7} A K 2 1 = A S 2 1 + A I 2 1 = 3 a 2 7 ⇒ A K = 7 a 2 1
Ta có đường thẳng AC cắt mặt phẳng SBD tại I và I C I A = a 3 6 2 a 3 = 1 3 . \frac{IC}{IA}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\frac{2}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{3}. I A I C = 6 a 3 a 3 2 = 3 1 .
Suy ra: d ( C ; ( S B D ) ) = 1 3 d ( A ; ( S B D ) ) = 1 3 A K = a 21 21 . d(C;(SBD))=\frac{1}{3}d(A;(SBD))=\frac{1}{3}AK=\frac{a\sqrt{21}}{21}. d ( C ; ( S B D ) ) = 3 1 d ( A ; ( S B D ) ) = 3 1 A K = 2 1 a 2 1 .
