Gọi I là trung điểm của BD. Vì tam giác ABD đều và tam giác BCD cân tại C nên \(\left\{\begin{matrix} AI \perp BD\\ CI \perp BD \end{matrix}\right.\)
Suy ra A, I, C thẳng hàng, \(AC \perp BD\)
Tam giác ABD đều cạnh a, suy ra \(BD=a;BI=\frac{1}{2}a;AI=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Tam giác BCD cân tại C và \(BCD =120^{\circ}\) nên \(BCI=60^{\circ}.\)
\(IC=\frac{BI}{\tan 60^{\circ}}=\frac{a}{2\sqrt{3}};BC=\frac{BI}{\sin 60^{\circ}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
+ \(AC=AI+IC=\frac{a\sqrt{3}}{2}+\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\)
Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc nên có diện tích:
\(S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC.BD=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{3}\)
Suy ra thể tích khối chóp S.ABCD là: \(V=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\frac{\sqrt{3}}{9}a^{3}\) (đvtt).
Tính khoảng cách
Gọi K là hình chiếu của A trên đường thẳng SI, suy ra \(AK \perp SI\)
Mặt khác \(\left\{\begin{matrix} BD \perp AC\\ BD \perp SA \end{matrix}\right.\Rightarrow AK \perp BD\) nên \(AK \perp (SBD).\)
Vậy \(d(A;(SBD))=AK\)
Tam giác SAI vuông tại A và có đường cao AK nên:
\(\frac{1}{AK^{2}}=\frac{1}{AS^{2}}+\frac{1}{AI^{2}}=\frac{7}{3a^{2}}\Rightarrow AK=\frac{a\sqrt{21}}{7}\)
Ta có đường thẳng AC cắt mặt phẳng SBD tại I và \(\frac{IC}{IA}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\frac{2}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{3}.\)
Suy ra: \(d(C;(SBD))=\frac{1}{3}d(A;(SBD))=\frac{1}{3}AK=\frac{a\sqrt{21}}{21}.\)
