Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn \(x\geq y\geq z\) và x2 + y2 + z2 = 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=2xy+8yz+5zx+\frac{10}{x+y+z}\)

ThaovanVCT

5 năm trước

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 378 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

johnson910

Ta có: \(A=(x+y+z)^2-3+3xz+6yz+\frac{10}{x+y+z}\)
\(0\leq 3xz+6yz=3z(x+2y)\leq \left ( \frac{3z+x+2y}{2} \right )^2\leq (x+y+z)^2\)
\((x+y+z)^2-3+\frac{10}{x+y+z}\leq A\leq 2(x+y+z)^2-3+\frac{10}{x+y+z}\)
Đặt t = x + y + z
\(\Rightarrow 3=x^2+y^3+z^2\leq (x+y+z)^2\leq 3(x^2+y^3+z^2)=9\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}\leq t\leq 3\)
Và \(t^2-3+\frac{10}{t}\leq A\leq 2t^2-3+\frac{10}{t}\)
Xét hàm số: \(f(t)=t^2+\frac{10}{t}-3\) trên \(D=\left [ \sqrt{3};3 \right ],f'(t)=2t-\frac{10}{t^2}=\frac{2t^3-10}{t^2}>0,\forall t\in D\)
\(\Rightarrow f(t)\) luôn đồng biến trên D \(\Rightarrow A\geq min_D \ f(t)=f(\sqrt{3})=\frac{10}{\sqrt{3}}\) dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{\begin{matrix} z(x+2y)=0\\ x+y+z=\sqrt{3}\\ x^2+y^2+z^2=3 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow y=z=0,x=\sqrt{3}(x\geq y\geq z)\)
Giá trị nhỏ nhất của A là \(\frac{10}{\sqrt{3}}\), đạt được khi y = z = 0, \(x=\sqrt{3}\)
Xét hàm số: \(g(t)=2t^2+\frac{10}{t}-3\) trên \(D=\left [ \sqrt{3};3 \right ], g'(t)=4t-\frac{10}{t^2}\) \(=\frac{4t^3-10}{t^2}>0\) \(\forall t\in D\)
\(\Rightarrow g(t)\) luôn đồng biến trên D \(\Rightarrow A\leq min_D \ g(t)=g(3)=\frac{55}{3}\)
\(\left\{\begin{matrix} 3z=x+2y\\ x+y+z=3\\ x^2+y^3+z^2=3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy giá trị lớn nhất của A là \(\frac{55}{3}\), đạt được khi x = y = z = 1

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HD =2HA. Gọi M N, lần lượt là trung điểm của SB, BC biết góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 300. Tính theo a thể tích của khối chóp S ABCD . và khoảng cách giữa hai đường thẳng MN, SD.

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A 'B'C'D ' có đáy là hình thoi cạnh a, \(\widehat{BAD}=120^0\) và \(AC' =a\sqrt{5}\). Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A 'B'C'D ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và BD theo a.

Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật tâm I, có AB = a và \(BC=a\sqrt{3}\) . Gọi H là trung điểm AI. Biết SH vuông góc với mặt phẳng đáy và tam giác SAC vuông tại S.Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).

Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!

Giải bất phương trình \(1+log_{\sqrt{2}}(x-1)\leq log_2(x^2+x-4)\)

Tính tích phân \(I=\int_{1}^{2}e^x(2e^{-x}+x)dx\)

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=x^4-2x^2-3\)

Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 450. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + 3y - z + 8 = 0 và điểm A(2; 2; 3). Viết phương trình mặt cầu (S), đi qua điểm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) và có tâm thuộc trục hoành.

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 2016 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=\sqrt{5x^2+xy+3y^2}+\sqrt{3x^2+xy+5y^2}+\sqrt{x^2+xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+xy+y^2}\)

Giải phương trình \(2log_2^2+5log_{\frac{1}{2}}x+3^{log_32}=0\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến