Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{16}{x + y + z}\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = \frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{xyz}\).

thubui2000

5 năm trước

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 478 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

Nam231201

Đặt \(a = \frac{x}{y};\ b = \frac{y}{z};\ c = \frac{z}{x}\) ta có a, b, c > 0; abc = 1 và P = (a - 1)(b - 1)(c - 1)
Giả thiết trở thành a + b + c + ab + bc + ca = 13 (1)
Vì a, b, c > 0; abc = 1 nên trong 3 số a, b, c có tồn tại một số, giả sử a có tính chất \(0 < a \leq 1\)
Từ (1) và abc = 1, ta có \(b+c = \frac{13-a-\frac{1}{a}}{1+a}\)
suy ra \(P = a+b+c-ab-bc-ca = 2(a+b+c)-13 = \frac{2a^3 - 13a^2 + 13a - 2}{a^2 + a}\)
Xét \(f(a)= \frac{2a^3 - 13a^2 + 13a - 2}{a^2 + a}\) trên (0; 1]
ta có \(f'(a)= \frac{2(a^4 + 2a^3 - 13a^2 + 2a + 1)}{a^2(a + 1)^2} = \frac{2(a^2 - 3a + 1)(a^2+5a+1)}{a^2(a+1)^2} = 0\) \(\Leftrightarrow a = \frac{3\pm \sqrt{5}}{2}\)
Lập bảng biến thiên của f(a) trên (0; 1] thu được \(f(a) \leq f\left ( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right ) = \sqrt{5}\)
Do vậy \(P \leq \sqrt{5}\). Khi \(x = \frac{3-\sqrt{5}}{2};\ y = 1;\ z =\frac{3+\sqrt{5}}{2}\) thì \(P = \sqrt{5}\)
Vậy GTLN của P là \(\sqrt{5}\)

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Help me!

Cho hàm số \(y=2x^3+6x^2-4\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 15x - 2y = 0 và tiếp điểm có hoành độ dương.

Cho hình chóp S.ABCD có SD = \(a\sqrt{3}\), đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a và BC = a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng SB. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Gọi F là điểm thuộc đoạn AB sao cho AF = 3BF. Chứng minh rằng EF \(\perp\) BD

mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{x^2+9}{x}\) trên đoạn [-4; 1]

Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=3.\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

\(P=\frac{x}{(y+z)^{2}}+\frac{y}{(x+z)^{2}}+\frac{z}{(x+y)^{2}}\)

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DH và SC.

Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!

Cho các số thực a, b thỏa mãn a, b \(\in \left [ \frac{1}{2};1\right ]\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=a^5b+ab^5+\frac{6}{a^2+b^2}-3(a+b)\)

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), \(SA=a\sqrt{3}\). Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bằng \(\frac{a\sqrt{3}}{3}\) , góc \(\angle ACB=30^0\). Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Tính tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x^3+xsin2x)dx\)

Cho hàm số \(y=x^3-(2m+3)x^2+(m^2+5m+2)x-2m(m+1)\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1.
b) Hãy tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn ymax.ymin < 0

Tính tích phân sau: \(I=\int_{0}^{1}(2e^{x^2}+e^x)xdx\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến