Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs! Cho các số thực a, b thỏa mãn a, b $\in \left [ \frac{1}{2};1\right ]$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=a^5b+ab^5+\frac{6}{a^2+b^2}-3(a+b)$

Maimai11022002

6 năm trước

Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!

Cho các số thực a, b thỏa mãn a, b $\in \left [ \frac{1}{2};1\right ]$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=a^5b+ab^5+\frac{6}{a^2+b^2}-3(a+b)$

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 354 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

Hvcst32

Đặt t = ab, suy ra $0< ab\leqslant 1$
Ta có $(1 - a)(1 - b) \geqslant 0$ nên $ab+1\geqslant a+b$
$(1-a^2)(1-b^2)\geqslant 0$ nên $a^2b^2+1\geqslant a^2+b^2$
$a^5b + ab^5 > 2a^3b^3$
Suy ra $P\geqslant 2(ab)^3+\frac{6}{(ab)^2+1}-3(1+ab)=2t^3+\frac{6}{t^2+1}-3t-3$
Xét $f(t)=2t^3+\frac{6}{t^2+1}-3t-3$ , với $t\in (0;1]$
Ta có: $f'(t)=6t^2-\frac{12t}{(t^2+1)^2}-3=\frac{3(t-1)(2t^5+2t^4+5t^3+5t^2+5t+1)}{(t^2+1)^2}$
Suy ra $f'(t)< 0,\forall t\in (0;1)$ , nghĩa là f(t) giảm trên khoảng (0;1)
Do đó $f(t)\geqslant f(1)=-1$ . Suy ra $P\geqslant -1$
Ta có a = 1, b = 1 thỏa mãn đề bài và khi đó P = −1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là −1.

Vote (0) Phản hồi (0) 6 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), $SA=a\sqrt{3}$ . Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bằng $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ , góc $\angle ACB=30^0$ . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Tính tích phân $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x^3+xsin2x)dx$

Cho hàm số $y=x^3-(2m+3)x^2+(m^2+5m+2)x-2m(m+1)$

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1.
b) Hãy tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn ymax.ymin < 0

Tính tích phân sau: $I=\int_{0}^{1}(2e^{x^2}+e^x)xdx$

Tính tích phân $I=\int_{1}^{e}\frac{x+1}{x^{2}}\ln xdx.$

Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, mặt phẳng (SBD) vuông góc với đáy, các đường thẳng SA, SD đều tạo với mặt đáy góc 300. Biết $AD = a \sqrt{6}$ , BD = 2a, góc CBD bằng 450. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD) theo a.

Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x^2+\frac{2}{x}$ trên đoạn $[\frac{1}{2};2]$

Cho a b, là các số thực không âm thỏa mãn: $2(a^2+b^2)+(a+b)=6$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=6\left ( \frac{a^2+1}{a^2+a} +\frac{b^2+1}{b^2+b}\right )+\frac{a+b}{\sqrt{(a+b)^2+5}}$

Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A B C (0;1;2), (2; -2;1), ( -2;0;1) và mặt phẳng (P): 2x + 2y + z - 3 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P). Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho M cách đều ba điểm A, B, C.

Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!

Giải bất phương trình
$2(log_9x)^2\geq log_3x(log_3\sqrt{2x+1}-1)$