\(BPT\Leftrightarrow \frac{1}{2}log_3^2x\geq log_3x(log_3\sqrt{2x+1}-1)\)
\(\Leftrightarrow log_3x\left [ log_3x-2(log_3\sqrt{2x+1}-1) \right ]\geq 0\)
\(\Leftrightarrow log_3x.\left [ log_3x-log_3(2x+1)+2 \right ]\geq 0\)
TH1:
\(\left\{\begin{matrix} log_3x\geq 0\\ log_3x-log_3(2x+1)+2\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 1\\ log_3x+2\geq log_3(2x+1) \ (1)\end{matrix}\right.\)
\((1)\Leftrightarrow log_3(9x)\geq log_3(2x+1)\)
\(\Leftrightarrow 9x\geq 2x+1\Leftrightarrow 7x\geq 1\Leftrightarrow x\geq \frac{1}{7}\)
Vậy \(x\geq 1\)
TH2:
\(\left\{\begin{matrix} log_3x\leq 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ log_3x-log_3(2x+1)+2\leq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0 \((2)\Leftrightarrow 9x\leq 2x+1\Leftrightarrow x\leq \frac{1}{7}\)
Đối chiếu điều kiện \(0< x\leq \frac{1}{7}\)
KL:
\(\bigg \lbrack \begin{matrix} x\geq 1\\ \\ 0

Giải bất phương trình: \(log_{2}(x-2)-log_{2}\sqrt{x-4}>log_{2}3\)

Điều kiện \(\left\{\begin{matrix} x-2>0 \\ x-4>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x>4\)

Bất phương trình \(\Leftrightarrow log_{2}(x-2)>log_{2}\sqrt{x-4}+log_{2}3\)

\(\Leftrightarrow log_{2}(x-2)>log_{2}3\sqrt{x-4}\)

\(\Leftrightarrow x-2>3\sqrt{x-4}\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\geqslant 2 \\ x^{2}-4x+4>9(x-4) \ \(1) \end{matrix}\right.\)

\((1)\Leftrightarrow x^{2}-13x+40>0\)

\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x<5 \\ x>8 \end{matrix}\)

Đối chiếu điều kiện, ta có \(\bigg \lbrack \begin{matrix} 48 \end{matrix}\)

Giải phương trình \(log_{2}x +2log_{7}x-2=log_{2}x.log_{7}x\)

Điều kiện: x > 0

Đặt a = log2x, b = log7x

ta có: a + 2b - 2 = ab

\(\Leftrightarrow\) a - ab +2b - 2 = 0

\(\Leftrightarrow\) a(1-b) - 2(1-b)=0

\(\Leftrightarrow\) (a - 2)(1 - b) = 0

\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} a=2 \\ b=1 \end{matrix}\)

Với a = 2 thì log2x = 2 \(\Leftrightarrow\) x = 4

Với b = 1 thì log7x = 1 \(\Leftrightarrow\)​ x = 7

Giải phương trình \(log_{2}(2x+1)=log_{\frac{1}{2}}(x+2)\)

Điều kiện \(\left\{\begin{matrix} 2x+1>0 \\ x+2>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x>-\frac{1}{2}\)

Phương trình \(\Leftrightarrow log_{2}(2x+1)=log_{2^{-1}}(x+2)\)

\(\Leftrightarrow log_{2}(2x+1)=log_{2}\frac{1}{(x+2)}\)

\(\Leftrightarrow 2x+1=\frac{1}{x+2}\)

\(\Leftrightarrow\)(2x+1)(x+2)=2

\(\Leftrightarrow\)2x2 + 5x+2=1

\(\Leftrightarrow\) 2x2 +5x + 1 = 0

\(\Leftrightarrow\)\(\Delta = 5^{2} - 8 =17\)

\(\Leftrightarrow\) \(\bigg \lbrack \begin{matrix} x=\frac{-5 -\sqrt{17}}{4} \ (loai) \\ x=\frac{-5 -\sqrt{17}}{4} \end{matrix}\)

Vậy tập nghiệm \(\begin{Bmatrix} \frac{-5+\sqrt{17}}{4} \end{Bmatrix}\)