Cho a b, là các số thực không âm thỏa mãn: \(2(a^2+b^2)+(a+b)=6\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=6\left ( \frac{a^2+1}{a^2+a} +\frac{b^2+1}{b^2+b}\right )+\frac{a+b}{\sqrt{(a+b)^2+5}}\)

Loga862001

5 năm trước

Cho a b, là các số thực không âm thỏa mãn: \(2(a^2+b^2)+(a+b)=6\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=6\left ( \frac{a^2+1}{a^2+a} +\frac{b^2+1}{b^2+b}\right )+\frac{a+b}{\sqrt{(a+b)^2+5}}\)

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 353 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

huynhthiennghia28042001

- Theo BĐT Côsi: \(2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2\)
Từ giả thiết, suy ra:
\((a+b)^2+(a+b)-6\leq 0\Leftrightarrow (a+b-2)(a+b+3)\leq 0\)
\(\Rightarrow 00)\)
- Ta chứng minh: \(\frac{2(b^2+1)}{a^2+a}\geq 3-a \ (*)\)
Thật vậy: \((*)\Leftrightarrow 2(a^2+1)\geq (a^2+a)(3-a)\Leftrightarrow (a-1)^2(a+2)\geq 0\) (luôn đúng)
Dấu "=" ⇔ a = 1
- Tương tự có: \(\frac{2(b^2+1)}{b^2+b}\geq 3-b\). Dấu "=" ⇔ b = 1

\(\Rightarrow P\geq 3(6-a-b)+\frac{a+b}{\sqrt{(a+b)^2+5}}\). Đặt \(t=a+b\Rightarrow 0 - Khi đó: \(P\geq -3t+\frac{t}{\sqrt{t^2+5}}+18,t\in (0;2]\)
- Xét hàm \(f(t)=-3t+\frac{t}{\sqrt{t^2+5}}+18,t\in (0;2]\)
\(f'(t)=-3+\frac{5}{\sqrt{(t^2+5)^3}}<0,\forall t\in (0;2]\Rightarrow f(t)\) nghịch biến trên \((0;2]\)
\(\Rightarrow f(t)\geq f(2)=\frac{38}{3}\); Dấu "=" ⇔ t = 1
Từ (1) và (2), suy ra \(P\geq \frac{38}{3}\). Dấu "="\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b\\ a+b=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=1\)
Vậy \(P_{min}=\frac{38}{3}\) khi a = b = 1

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A B C (0;1;2), (2; -2;1), ( -2;0;1) và mặt phẳng (P): 2x + 2y + z - 3 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P). Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho M cách đều ba điểm A, B, C.

Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!

Giải bất phương trình
\(2(log_9x)^2\geq log_3x(log_3\sqrt{2x+1}-1)\)

Cho hàm số \(y=\frac{2x-1}{1-x}\)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b. Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 4x + y + 3 = 0.

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Cho các số thực dương a,b,c thỏa điều kiện \(a^2+b^2+c^2=3\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\(P=\left ( \frac{a+2\sqrt{ab}+c}{a+1} \right )^2+\left ( \frac{b+2\sqrt{bc}+a}{b+1} \right )^2 +\left ( \frac{c+2\sqrt{ca}+b}{c+1} \right )^2\)

Cho số phức z thỏa mãn: \(3(z+1-i)=2i(\bar{z}+2)\) . Tìm modun của số phức \(W = z+iz+5\)

Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!

Tính tích phân \(I=\int_{0}^{4}x(4-x)^3dx\)

Cho hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+1}\)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua A (-1; 4).

Giải phương trình \(log_2(x-1)^2+log_{\sqrt{3}}(2x-1)=2\)

Giải phương trình: \((x+2)(\sqrt{x^{2}+4x+7}+1)+x(\sqrt{x^{2}+3}+1)=0\)

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \((\alpha ):2x-y+2z+1=0\) và đường thẳng \(d: \frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-2}\) . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) và mặt phẳng \((\alpha )\).

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến