Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện: $xy+1\leq y$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=\frac{x+y}{\sqrt{x^2-xy+3y^2}}+\frac{2y-x}{6(x+y)}$

Loga2012000

6 năm trước

Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện: $xy+1\leq y$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\frac{x+y}{\sqrt{x^2-xy+3y^2}}+\frac{2y-x}{6(x+y)}$

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 495 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

ducminhdang123

Do $x > 0, y > 0, xy \leq y-1$ nên $0< \frac{x}{y}\leq \frac{y-1}{y^2}=\frac{1}{y^2}=\frac{1}{4}-\left ( \frac{1}{y}-\frac{1}{2} \right )^2\leq \frac{1}{4}$
Đặt $t=\frac{x}{y}\Rightarrow 0< t\leq \frac{1}{4}$. Khi đó $P=\frac{t+1}{\sqrt{t^2-t+3}}-\frac{t-2}{6t+6}=\frac{t+1}{\sqrt{t^2-t+3}}-\frac{1}{6}+\frac{1}{2(t+1)}$
Ta có $P'(t)=\frac{7-3t}{2\sqrt{(t^2-t+3)^3}}-\frac{1}{2(t+1)^2}$
Vì $06; t+1>1$, do đó
$\frac{7-3t}{2\sqrt{(t^2-t+3)^3}}>\frac{7-3}{6\sqrt{3}}>\frac{1}{\sqrt{3}};-\frac{1}{2(t+1)^2}>-\frac{1}{2}$
$\Rightarrow P'(t)>\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{2}>0$
Vậy P (t) đồng biến trên $\bigg(0;\frac{1}{4}\bigg]$, suy ra $P(t)\leq P\left ( \frac{1}{4} \right )=\frac{\sqrt{5}}{3}+\frac{7}{30}$

Khi $x=\frac{1}{2};y=2$ thì ta có $P=\frac{\sqrt{5}}{3}+\frac{7}{30}\Rightarrow MaxP=\frac{\sqrt{5}}{3}+\frac{7}{30}\Leftrightarrow$$x=\frac{1}{2};y=2$

Vote (0) Phản hồi (0) 6 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cứu với mọi người!

Giải phương trình
$(2x+3)\sqrt{4x^2+12x+11}+3x\sqrt{9x^2-2}=-5x-3$

Cho $x,y,z\geq 0, x+y+z=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức $P=xyz-(xy+2yz+zx)$

Tính tích phân: $I=\int_{1}^{2}x(\sqrt{x+1}-lnx)dx$

Giải tự luận giúp em câu này:

Giải phương trình $(3+2\sqrt{2})^{x}=(\sqrt{2}-1)^{x}+3$

Tính tích phân: $I=\int_{0}^{1}x[(x+1)^2+e^{x+1}]dx$

Cứu với mọi người!

Tính tích phân: $I=\int_{1}^{2}(x+lnx)xdx$

Giải bất phương trình: $x-\sqrt{x}-2> \sqrt{x^3-4x^2+5x}-\sqrt{x^3-3x^2+4}$

Tính tích phân $I=\int_{-\pi }^{\pi }\frac{sinx}{\sqrt{x^2+1}+x}dx$

Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.

Cho hình chóp S.ABC có $AB = AC = a, \widehat{ABC} = 30^0$, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác ABC đến mặt phẳng (SBC) theo a.

Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=-x^3+3x+1$

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến