Đáp án: a, $1(x-4)-2(y+1)=0$
$2x+y-7=0$
b, A$(\frac{-12}{5};\frac{-11}{5})$
B$(\frac{-16}{5};\frac{-23}{5})$
C$(\frac{38}{5};\frac{-41}{5})$
D$(\frac{51}{5};\frac{13}{5})$
Giải thích các bước giải:
Gọi vtcp của 1 trong 2 đường chéo là $a,b$
góc giữa đường chéo với cạnh hình vuông là 45 nên ta có
$cos=\frac{3a-b}{\sqrt{3^{2}+1^{2}}\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\Leftrightarrow 2(3a-b)=\sqrt{20}\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
với $3a\geq b$ bình phương 2 vế ta có
$\Leftrightarrow 16a^{2}-24ab-16b^{2}=0
\Leftrightarrow 8(2a+b)(a-2b)=0$
$\Leftrightarrow 2a=-b$ hoặc $a=2b$ hai vt này vuông góc với nhau nên nó là vtcp của 2 đường chéo
Vậy ta chỉ xét th $2a=-b$ ta chọn được bộ vtcp là (1;-2) và đi qua I_(4;-1) nên pt là $1(x-4)-2(y+1)=0$
pt đường chéo còn lại nhận vtcp của pt vừa tìm được làm vtpt và đi qua I
⇒ $2(x-4)+1(y+1)=0\Leftrightarrow 2x+y-7=0$
ABCD là hình vuông nên tính chất 4 điểm như nhau
Không mất tính tổng quát ta có
toạ độ A là nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix}
2x+y-7=0\\
3x-y+5=0
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=\frac{-12}{5}\\
y=\frac{-11}{5}
\end{matrix}\right.$
vậy A$(\frac{-12}{5};\frac{-11}{5})$
toạ độ B là nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix}
x-2y-6=0\\
3x-y+5=0
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=\frac{-16}{5}\\
y=\frac{-23}{5}
\end{matrix}\right.$
⇒ B$(\frac{-16}{5};\frac{-23}{5})$
phương trình BC vuông góc với AB và đi qua B nên ta viết được pt $x+2y+17=0$
⇒ toạ độ C là nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix}
x+3y+17=0\\
2x+y-7=0
\end{matrix}\right.$
C$(\frac{38}{5};\frac{-41}{5})$
phương trình DC song song với AB và đi qua C là $3x-y-31=0$
toạ độ D là nghiệm của hệ
$\left\{\begin{matrix}
3x-y-31=0\\
x-2y-6=0
\end{matrix}\right.$
⇒D$(\frac{51}{5};\frac{13}{5})$
