mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá! Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}+ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)

Leductuan

6 năm trước

mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}+ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 500 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

thanhtay1280

Do x, y, z là các số thực dương nên ta biến đổi
\(P=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{y^2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{ z^2}}}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
Đặt \(a=\frac{1}{x^2};b=\frac{1}{y^2};c=\frac{1}{z^2} \ (a,b,c>0)\) thì \(xy+yz+zx=\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}=1\) và \(P=\frac{1}{\sqrt{1+a}}+\frac{1}{\sqrt{1+b}}+\frac{1}{\sqrt{1+c}}+a+b+c\)
Biến đổi biểu thức P
\(P=\left ( \frac{1}{2\sqrt{a+1}} + \frac{1}{2\sqrt{a+1}}+\frac{a+1}{16}\right )+ \left ( \frac{1}{2\sqrt{b+1}} + \frac{1}{2\sqrt{b+1}}+\frac{b+1}{16}\right )\)\(+ \left ( \frac{1}{2\sqrt{c+1}} + \frac{1}{2\sqrt{c+1}}+\frac{c+1}{16}\right )+ \frac{15a}{16}+\frac{15b}{16}+\frac{15c}{16}-\frac{3}{16}\)

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có đánh giá
\(P\geq 3\sqrt[3]{\frac{a+1}{64(a+1)}}+3\sqrt[3]{\frac{b+1}{64(b+1)}}+3\sqrt[3]{\frac{c+ 1}{64(c+1)}} +\frac{15a}{16}+\frac{15b}{16}+\frac{15c}{16}-\frac{3}{16}\)
\(=\frac{33}{16}+\frac{15}{16}(a+b+c)\geq \frac{33}{16}+\frac{15}{16}.3\sqrt[3]{abc}\)
Mặt khác \(1=\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq 3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow abc\geq 27\)
Suy ra \(P\geq \frac{33}{16}+\frac{15}{16}.3\sqrt[3]{27}=\frac{33}{16}+\frac{15.9}{16}= \frac{21}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c hay \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Kết luận giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là \(\frac{21}{2}\) đạt khi x = \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Vote (0) Phản hồi (0) 6 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tâm O. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và \(\small SA=a\sqrt{3}\) . Biêt bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bằng \(\small \frac{a\sqrt{3}}{3}\)và góc \(\small \widehat{ACB}=30^0\). Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC; SB.

Giải bất phương trình sau: \(2\log _{2}(2x-1)+\log _{\frac{1}{2}}(3x+1)\leq 3\)

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Cho \(M(2;3;1), \Delta: \frac{x-2}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{2}\). Tìm tọa độ M' đối xứng với M qua \(\Delta\)

Cứu với mọi người!

Trong không gian cho tam giác ABC có A(1;-1;3) B(-2;3;3);C(1;7;-3) lập phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm chân đường phân giác trong kẻ từ A trên cạnh BC.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của AD, góc giữa SB và mặt phẳng đáy (ABCD) là \(45^{\circ}.\)

a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BH theo a

Cứu với mọi người!

Tìm m để hàm số \(f(x)=x^3+3x^2+(m+1)x+4\) nghịch biến trên (-1;1)

Giải hệ phương trình sau:

\(\left\{\begin{matrix} 2y^{3}+12y^{2}+25y+18=92x+9\sqrt{x+4}\\ \sqrt{3x+1}+3x^{2}-14x-8=\sqrt{6-4y-y^{2}} \end{matrix}\right.\)

Cho ba số thực không âm x, y, z. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.
\(\small P=\frac{4}{\sqrt{x^2+y^2+z^2+4}}-\frac{4}{(x+y)\sqrt{(x+2z)(y+2z)}}-\frac{5}{(y+z)\sqrt{(y+2x)(z+2x)}}\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho mặt phẳng (P): \(x - 2y + 2z + 1 = 0\) và mặt cầu (S): \(x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y + 6z + 13 =0\). Chứng minh rằng mặt phẳng (P) có điểm chung với mặt cầu (S). Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn là giao của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S).

Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!

Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho mặt phẳng (P): x – 2y + z + 5 = 0.
1) Gọi giao điểm của mặt phẳng (P) với các trục Ox và Oz lần lượt tại X và Z. Tính diện tích của tam giác OXZ.
2) Lập phương trình mặt phẳng (α) vuông góc với mặt phẳng (P) và chứa đường thẳng d là giao của hai mặt phẳng (P1): x – 2z = 0 và (P2): 3x – 2y + z – 3 = 0.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến