Đáp án:
\[z = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4}i\]
Giải thích các bước giải:
Số phức \(z\) có phần thực gấp 2 lần phần ảo nên đặt \(z = 2a + ai\), ta có:
\(\begin{array}{l}
z = 2a + ai \Rightarrow A\left( {2a;a} \right)\\
z + 1 = 2a + ai + 1 = \left( {2a + 1} \right) + ai \Rightarrow B\left( {2a + 1;\,\,a} \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {OA} = \left( {2a;a} \right)\\
\overrightarrow {OB} = \left( {2a + 1;\,a} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
OA = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {a^2}} = \sqrt {5{a^2}} \\
OB = \sqrt {{{\left( {2a + 1} \right)}^2} + {a^2}} = \sqrt {5{a^2} + 4a + 1}
\end{array} \right.\\
OA = OB\\
\Leftrightarrow \sqrt {5{a^2}} = \sqrt {5{a^2} + 4a + 1} \\
\Leftrightarrow 5{a^2} = 5{a^2} + 4a + 1\\
\Leftrightarrow 4a + 1 = 0\\
\Leftrightarrow a = - \frac{1}{4}\\
\Rightarrow z = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4}i
\end{array}\)
Vậy \(z = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4}i\)
