Đáp án:
\[a = 2;\,\,b = 1\]
Giải thích các bước giải:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = a\) là:
\[y = f'\left( a \right)\left( {x - a} \right) + f\left( a \right)\]
Hệ số góc của tiếp tuyến trên là \(f'\left( a \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
y = f\left( x \right) = \frac{{a\,x + b}}{{x - 1}}\\
\Rightarrow y' = f'\left( x \right) = \frac{{\left( {ax + b} \right)'.\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right)'.\left( {ax + b} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\
= \frac{{a\left( {x - 1} \right) - 1.\left( {ax + b} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ax - a - ax - b}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - \left( {a + b} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}
\end{array}\)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \(A\) có hoành độ \(x = 0\) là:
\(\begin{array}{l}
f'\left( 0 \right) = - 3\\
\Leftrightarrow \frac{{ - \left( {a + b} \right)}}{{{{\left( {0 - 1} \right)}^2}}} = - 3\\
\Leftrightarrow a + b = 3
\end{array}\)
Đồ thị hàm số đã cho đi qua \(A\left( {0; - 1} \right)\) nên ta có:
\( - 1 = \frac{{a.0 + b}}{{0 - 1}} \Leftrightarrow b = 1 \Rightarrow a = 2\)
Vậy \(a = 2;\,\,b = 1\)
