ΔABC cân tại A có :
AM là đường trung tuyến nên AM đồng thời là tia phân giác của ∠A.
Ta có :
→ME vuông góc với AB tại E nên AEM là tam giác vuông tại E
→MF vuông góc với AC tại F nên AFM là tam giác vuông tại F
Xét ΔAEM và ΔAFM ta có :
AM là cạnh chung
ˆEAM=ˆFAM (do AM là tia phân giác của góc A)
⇒ ΔAEM=ΔAFM (cạnh huyền – góc nhọn)
Theo câu trên ta có ΔAEM=ΔAFM
⇒AE = AF (hai cạnh tương ứng)
⇒ME = MF (hai cạnh tương ứng )
Do đó hai điểm A, M nằm trên đường trung trực của EF.
Vậy AM là đường trung trực của EF.
Xét hai tam giác vuông: ΔABD vuông tại B, ΔACD vuông tại C ta có:
AB = AC (do tam giác ABC cân tại A)
AD là cạnh chung
Vậy ΔABD=ΔACD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
⇒ DB = DC (hai cạnh tương ứng bằng nhau)
Do đó D thuộc tia phân giác của góc A (1)
Lại có AM là tia phân giác của góc A, hay M thuộc tia phân giác của góc A (2)
Từ (1) và (2) → A, M, D thẳng hàng.
