Xét $\Delta NAF$ và $\Delta BAN$ có:
$\widehat{BAN}$ chung
$\widehat{NFA}=\widehat{BNA}=90^o$ (BE, CF là các đường cao)
$⇒\Delta NAF\backsim\Delta BAN(g.g)$
$⇒\dfrac{NA}{BA}=\dfrac{AF}{AN}$
$⇒AN^2=AF.AB$ (1)
Tương tự chứng minh:
$\Delta MAE\backsim\Delta CAM(g.g)$
$⇒\dfrac{MA}{CA}=\dfrac{AE}{AM}$
$⇒AM^2=AE.AC$ (2)
$\Delta BAE\backsim\Delta CAF(g.g)$
$⇒\dfrac{BA}{CA}=\dfrac{AE}{AF}$
$⇒AB.AF=AC.AE$ (3)
Từ (1), (2) và (3) $⇒AM^2=AN^2$ hay $AM=AN$