Đáp án:
$m=0$ hoặc $m=-5$
Giải thích các bước giải:
$x^2-(2m+3)x-2m-4=0$ (1)
$\Delta=[-(2m+3)]^2-4.1.(-2m-4)$
$=4m^2+12m+9+8m+16$
$=4m^2+20m+25$
Do $\Delta=4m^2+20m+25=(2m+5)^2≥0∀m$ nên phương trình (1) luôn có nghiệm $∀m$
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
$\begin{cases}x_1+x_2=2m+3\,\,(2)\\x_1.x_2=-2m-4\,\,(3)\end{cases}$
$|x_1-x_2|=5$
$⇔x_1-x_2=5$ (4) hoặc $x_1-x_2=-25$ (5)
Kết hợp phương trình (2) và (4) ta có hệ phương trình:
$\begin{cases}x_1+x_2=2m+3\\x_1-x_2=5\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x_1=5+x_2\\5+x_2+x_2=2m+3\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x_1=5+x_2\\2x_2=2m-2\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x_2=\dfrac{2m-2}{2}\\x_1=5+x_2\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x_2=m-1\\x_1=5+m-11\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x_2=m-1\\x_1=m-6\end{cases}$
Thay $\begin{cases}x_1=m-6\\x_2=m-1\end{cases}$ vào phương trình (3) ta được:
$(m-6)(m-1)=-2m-4$
$⇔m^2-m-6m+6=-2m-4$
$⇔m^2-5m+10=0$ (*)
$\Delta_m=(-5)^2-4.1.10=-15<0$ nên phương trình (*) vô nghiệm
Kết hợp phương trình (2) và (5) ta có hệ phương trình:
$\begin{cases}x_1+x_2=2m+3\\x_1-x_2=-5\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x_1=-5+x_2\\-5+x_2+x_2=2m+3\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x_1=-5+x_2\\2x_2=2m+8\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x_1=-5+x_2\\x_2=\dfrac{2m+8}{2}\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x_2=m+4\\x_1=-5+m+4\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x_2=m+4\\x_1=m-1\end{cases}$
Thay $\begin{cases}x_1=m-1\\x_2=m+4\end{cases}$ vào phương trình (3) ta được:
$(m+4)(m-1)=-2m-4$
$⇔m^2-m+4m-4=-2m-4$
$⇔m^2+5m=0$
$⇔m(m+5)=0$
\(⇔\left[ \begin{array}{l}m=0\\m+5=0\end{array} \right.\)
\(⇔\left[ \begin{array}{l}m=0(tm)\\m=-5(tm)\end{array} \right.\)
Vậy với $m=0$ hoặc $m=-5$ thì phương trình (1) có hai nghiệm $x_1,x_2$ sao cho $|x_1-x_2|=5$
