Áp dụng Viet ta có
$x_1 + x_2 = 4, x_1 x_2 = 1$
Ta có
$x_1^{10} + x_2^{10} = (x_1^5)^2 + (x_2^5)^2$
$= (x_1^5 + x_2^5)^2 - 2x_1^5 x_2^5$
$= (x_1^5 + x_2^5)^2 - 2(x_1 x_2)^5$
$= (x_1 + x_2)^2 (x_1^4 - x_1^3 x_2 + x_1^2 x_2^2 - x_1 x_2^3 + x_2^4)^2 - 2$
$= 16[(x_1^4 + x_2^4) + (x_1 x_2)^2 - x_1 x_2(x_1^2 + x_2^2)]^2 - 2$
$= 16 [(x_1^2 + x_2^2)^2 - 2x_1^2 x_2^2 + 1 - (x_1^2 + x_2^2)]^2 - 2$
$= 16 \{ [(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2]^2 - 1 - (x_1 + x_2)^2 + 2x_1 x_2 \}^2 - 2$
$= 16 [ (16 - 2)^2 - 1 - 16 + 2]^2 - 2$
Đẳng thức cuối là biểu thức liên hệ giữa các phép toán "+", "-", và "$\times$ thông thường giữa các số nguyên, do đó nó là một số nguyên.
Vậy $x_1^{10} + x_2^{10}$ là một số nguyên.
