Giải thích các bước giải:
1.Vì $BM,CN$ là đường cao $\Delta ABC\to BM\perp AC, CN\perp AB$
$\to \widehat{HNB}=\widehat{HMC}=90^o$
Mà $\widehat{NHB}=\widehat{MHC}$(đối đỉnh)
$\to\Delta HBN\sim\Delta HCM(g.g)$
2.Ta có : $\widehat{ANC}=\widehat{AMB}=90^o\to \Delta ANC=\Delta AMB(g.g)$
$\to \dfrac{AN}{AM}=\dfrac{AC}{AB}\to AB.AN=AC.AM$
$\to \dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AM}{AB}$
$\to \Delta AMN\sim\Delta ABC(c.g.c)\to \widehat{AMN}=\widehat{ABC}$
3.Ta có $\Delta BMC,CNB$ vuông tại $M,N$
Mà $K$ là trung điểm $BC$
$\to KN=KB=KC=KM=\dfrac12BC$
$\to \Delta KMN$ cân tại K
Mà $E$ là trung điểm MN
$\to KE\perp MN$
4.Gọi $AH\cap BC=D$
Vì $BM,CN$ là đường cao $\Delta ABC\to H$ là trực tâm $\Delta ABC$
$\to AH\perp BC=D$
$\to \widehat{BDA}=\widehat{BNC}=90^o$
$\to \Delta BAD\sim\Delta BCN(g.g)$
$\to \dfrac{BA}{BC}=\dfrac{BD}{BN}\to BN.BA=BD.BC$
Tương tự $\to CM.CA=CD.CB$
$\to BN.BA+CM.CA=BD.BC+CD.CB=BC^2$
