Đáp án:
$GTLN$ của $\frac{ab}{a² + 2b²} = \frac{4}{33}$ khi $ a = 1; b = 4$
Giải thích các bước giải:
Ta có $: - (x - \sqrt[]{2})² ≤ 0 ⇔ 2\sqrt[]{2}.x ≤ x² + 2$
$⇔ \frac{x}{x² + 2} ≤ \frac{1}{2\sqrt[]{2}}$ với $∀x$. Dấu $"="$ xảy ra khi $x = \sqrt[]{2}$
Mặt khác với $∀x; y$ thỏa mãn:$ 0 < x ≤ y < \sqrt[]{2} (1) ⇒ xy < 2 $
$⇒ (x - y)(2 - xy) ≤ 0 ⇔ xy² - x²y + 2x - 2y ≤ 0$
$⇔ x(y² + 2) ≤ y(x² + 2) ⇔ \frac{x}{x² + 2} ≤ \frac{y}{y² + 2} (2)$
Đặt $x = \frac{a}{b} > 0$. Áp dụng BĐT Cô si :
$ 4 \sqrt[]{x} = 4\sqrt[]{\frac{a}{b}} = 2\sqrt[]{a.\frac{4}{b}} ≤ a + \frac{4}{b} = \frac{ab + 4}{b}≤ 2$
$ ⇒ 0 < x ≤ \frac{1}{4} < \sqrt[]{2} (3)$
Từ $(1);(2);(3)$ áp dụng với $y = \frac{1}{4}$ ta có:
$ \frac{ab}{a² + 2b²} =\frac{\frac{a}{b}}{(\frac{a}{b})²+ 2 } = \frac{x}{x² + 2} ≤ \frac{\frac{1}{4}}{(\frac{1}{4})² + 2} = \frac{4}{33}$
$ ⇒ GTLN$ của $ \frac{ab}{a² + 2b²} = \frac{4}{33}$
Đạt được khi $: \frac{a}{b} = x = \frac{1}{4} ⇔ 4a = b ⇔ a = 1; b = 4$
