Đáp án: a)$\Delta :x-2y+4=0$
b) $\Delta:21x - 20y + 204 = 0$ hoặc $\Delta:5x - 2y + 32 = 0$
Giải thích các bước giải:
a) Đường tròn $(C)$ có tâm $I(3;1)$
Nên phương trình tiếp tuyến $\Delta $ tại $M(2;3)$ là: $\Delta :(2-3)(x-2)+(3-1)(y-3)=0$ hay $\Delta :x-2y+4=0$
b) Gọi $A,B$ là tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua $M$. Gọi $E$ là trung điểm của $IM$
Ta có: $(C)$ có tâm $I(1;4)$và bán kính $R=5$ và $E\left( {\dfrac{{ - 3}}{2};5} \right)$$IM = \sqrt {{{\left( {1 - \left( { - 4} \right)} \right)}^2} + {{\left( {4 - 6} \right)}^2}} = \sqrt {29} $
Phương trình đường tròn đường kính IM là: ${\left( {x + \dfrac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = \dfrac{{29}}{4}$
Khi đó: $IA\perp \Delta =A; IB\perp \Delta =B$$\to A,B$ thuộc đường tròn đường kính $IM$.
Tọa độ của $A,B$ thỏa mãn hệ:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x + \dfrac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = \dfrac{{29}}{4}\\
{x^2} + {y^2} - 2x - 8y - 8 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + 3x - 10y = - 20\\
{x^2} + {y^2} - 2x - 8y = 8
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5x - 2y = - 28\\
{x^2} + {y^2} - 2x - 8y = 8
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{2y - 28}}{5}\\
{x^2} + {y^2} - 2x - 8y = 8
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{2y - 28}}{5}\\
{\left( {\dfrac{{2y - 28}}{5}} \right)^2} + {y^2} - 2.\dfrac{{2y - 28}}{5} - 8y - 8 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{2y - 28}}{5}\\
\left[ \begin{array}{l}
y = \dfrac{{216}}{{29}}\\
y = 4
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{ - 76}}{{29}};y = \dfrac{{216}}{{29}}\\
x = - 4;y = 4
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A\left( {\dfrac{{ - 76}}{{29}};\dfrac{{216}}{{29}}} \right)\\
B\left( { - 4;4} \right)
\end{array} \right.
\end{array}$
+) Tiếp tuyến MA đi qua M nhận $\overrightarrow {AI} = \left( {\dfrac{{105}}{{29}};\dfrac{{ - 100}}{{29}}} \right)$ là vecto pháp tuyến.
$ \to MA:\dfrac{{105}}{{29}}\left( {x + 4} \right) - \dfrac{{100}}{{29}}\left( {y - 6} \right) = 0$ hay $MA:21x - 20y + 204 = 0$
+)Tiếp tuyến MB đi qua M nhận $\overrightarrow {BI} = \left( 5;-2 \right)$ là vecto pháp tuyến.
$ \to MB:5\left( {x + 4} \right) - 2\left( {y - 6} \right) = 0$ hay $MB:5x - 2y + 32 = 0$
Vậy phương trình tiếp tuyến qua M là: $\Delta :21x - 20y + 204 = 0$ và $\Delta :5x - 2y + 32 = 0$
