Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l}
a)\sin x + \cos 2x = 0\\
\Leftrightarrow \sin x + 1 - 2{\sin ^2}x = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 1\\
\sin x = \dfrac{{ - 1}}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k2\pi \\
x = \dfrac{{ - \pi }}{3} + k2\pi \\
x = \dfrac{{4\pi }}{3} + k2\pi
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)
\end{array}$
Vậy phương trình có các họ nghiệm sau:
$x = k2\pi;
x = \dfrac{{ - \pi }}{3} + k2\pi;
x = \dfrac{{4\pi }}{3} + k2\pi (k \in Z)$
$\begin{array}{l}
b)\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0\\
\Leftrightarrow \sin x + 2\sin x.\cos x + 3\sin x - 4{\sin ^3}x = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0\\
- 4{\sin ^2}x + 4 + 2\cos x = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0\\
2{\cos ^2}x - \cos x = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0\\
\cos x = 0\\
\cos x = \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\dfrac{\pi }{2}\\
x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\
x = \dfrac{{ - \pi }}{3} + k2\pi
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)
\end{array}$
Vậy phương trình có các họ nghiệm sau:
$x = k\dfrac{\pi }{2};
x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;
x = \dfrac{{ - \pi }}{3} + k2\pi (k\in Z)$
$\begin{array}{l}
c)\cos x + \cos 2x + \cos 3x = 0\\
\Leftrightarrow \cos x + 2{\cos ^2}x - 1 + 4{\cos ^3}x - 3\cos x = 0\\
\Leftrightarrow 4{\cos ^3}x + 2{\cos ^2}x - 2\cos x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = \dfrac{{ - 1}}{2}\\
\cos 2x = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\
x = \dfrac{{ - 2\pi }}{3} + k2\pi \\
x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2}
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)
\end{array}$
Vậy phương trình có các họ nghiệm sau:
$x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi ;
x = \dfrac{{ - 2\pi }}{3} + k2\pi ;
x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2}(k\in Z)$
$\begin{array}{l}
d)\cos (x - 5) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 5 = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\
x - 5 = \dfrac{{ - \pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 5 + \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = 5 - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)
\end{array}$
Mà $-\pi<x<\pi$ nên $x\in \{5-\dfrac{11\pi}{6};5-\dfrac{13\pi}{6}\}$
Vậy phương trình có các nghiệm sau:
$x\in \{5-\dfrac{11\pi}{6};5-\dfrac{13\pi}{6}\}$
