Giải thích các bước giải:
a.Vì $H$ là trực tâm $\Delta ABC\to BH\perp AC, CH\perp AB$
Để $BHCM$ là hình bình hành
$\to MB//CH, MC//BH$
$\to MB\perp AB, MC\perp AC$
$\to AM$ là đường kính của (O)
$\to M=AO\cap (O)$
b.Gọi $AH\cap BC=D, BF\cap AC=F, CH\cap AB=G$
Vì $H$ là trực tâm $\to HG\perp BG, HD\perp BD$
$\to BDHG$ nội tiếp đường tròn đường kính $BH$
$\to\widehat{AHC}=\widehat{GHD}=180^o-\widehat{GBD}=180^o-\widehat{ABC}=180^o-\widehat{AMC}$
Vì $M,E$ đối xứng qua $AC\to\widehat{AMC}=\widehat{AEC}$
$\to\widehat{AHC}=180^o-\widehat{AEC}\to\widehat{AHC}+\widehat{AEC}=180^o$
$\to AHCE$ nội tiếp
Tương tự chứng minh được $AHBN$ nội tiếp
$\to\widehat{NHE}=\widehat{AHN}+\widehat{AHE}=\widehat{ABN}+\widehat{ACE}=\widehat{ABM}+\widehat{ACM}=180^o$
$\to H,N,E$ thẳng hàng
c.Gọi $AB\cap MN=I\to I$ là trung điểm $NM$
$AC\cap ME=J\to J$ là trung điểm $ME$
$\to IJ$ là đường trung bình $MNE$
$\to IJ=\dfrac12NE$
Để $NE$ nhỏ nhất $\to IJ$ nhỏ nhất
Mà $MN\perp AB=I, ME\perp AC=J\to \widehat{AIM}=\widehat{AJM}=90^o$
$\to AIMJ$ nội tiếp
$\to\widehat{MIJ}=\widehat{MAJ}=\widehat{MAC}=\widehat{MBC}$
$\widehat{MJI}=\widehat{MAI}=\widehat{MAB}=\widehat{MCB}$
$\to\Delta MIJ\sim\Delta MBC(g.g)$
$\to\dfrac{IJ}{BC}=\dfrac{MI}{MB}\le 1$ vì $MI\perp AB\to MI\le MB$
$\to IJ\le BC$
Dấu = xảy ra $\to MB\perp AB\to M=AO\cap (O)$
