Ta có: $a^2+b^2+c^2≥b^2+c^2 ∀a,b,c$
Mà theo bđt Cauchy thì $b^2+c^2≥2bc;∀b,c$
$⇒2=a^2+b^2+c^2≥2bc$
$⇒1≥bc$
$⇒1-bc≥0$
Ta có $P=a+b+c-abc$
$⇒P^2=(a+b+c-abc)^2$
$=[b+c+a(1-bc)]^2$
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta được:
$[1.(b+c)+a(1-bc)]^2≤[(b+c)^2+a^2][1^2+(1-bc)^2]$j
$=[b^2+c^2+a^2+2bc][b^2c^2-2bc+2]$
$=(2+2bc).(b^2c^2-2bc+2)$
$=4-2b^2c^2(1-bc)≤4$(do $1-bc≥0;b^2c^2≥0∀b;c$)
Hay $P^2≤4$
$⇒-2≤P≤2$
Dấu `=` xảy ra $⇔1-bc=0;b^2c^2=0;a^2+b^2+c^2=2;(b+c)^2.(1-bc)^2=a^2⇔a=0$
Khi $Max_{P}=2⇔P≥0⇔b+c≥0;do a=0;1-bc≥0$ kết hợp với trên ta có
\(\left[ \begin{array}{l}b=0;a=0;c=\sqrt[]2\\b=\sqrt[]2;a=0;c=0\end{array} \right.\)
Chứng minh tương tự $Min_P=-2$ khi
\(\left[ \begin{array}{l}b=0;a=0;c=-\sqrt[]2\\b=-\sqrt[]2;a=0;c=0\end{array} \right.\)
