Đáp án: a) $P \in \{0,-6\}$
b) $(a,b) = (-5,4)$
Giải thích các bước giải:
a) Ta có : $x^3+y^3+8=6xy$
$⇔(x+y)^3-3xy.(x+y) + 8=6xy$
$⇔[(x+y)^3+2^3]-3xy.(x+y) - 6xy=0$
$⇔(x+y+2).[(x+y)^2-2.(x+y) + 4]-3xy.(x+y+2)=0$
$⇔(x+y+2).(x^2+y^2-xy-2x-2y+4) = 0 $
$⇔(x+y+2).\dfrac{1}{2}.\bigg(2x^2+2y^2-2xy-4x-4y+8\bigg)=0$
$ ⇔(x+y+2).\dfrac{1}{2}.\bigg[(x^2-2xy+y^2)+(x^2-4x+4)+(y^2-4y+4)\bigg]=0 $
$ ⇔(x+y+2).[(x-y)^2+(y-2)^2+(x-2)^2] = 0 $
$⇔\left[ \begin{array}{l}x+y+2=0\\(x-y)^2+(y-2)^2+(x-2)^2=0\end{array} \right.$
$⇔\left[ \begin{array}{l}x+y+2=0\\x=y=2\end{array} \right.$
+) Với $x=y=2$ thì ta có :
$P = 4.(2+2) - (2+2).\bigg(\dfrac{2}{2}+1\bigg).\bigg(\dfrac{2}{2} + 1\bigg)$
$ = 0$
+) Với $x+y+2=0 ⇒\left\{ \begin{array}{l}x+y=-2\\x+2=-y\\y+2=-x\end{array} \right.$
Khi đó ta có :
$P = 4.(-2) - (x+2).\dfrac{y+2}{y}.\dfrac{x+y}{x}$
$ = -8 - \dfrac{(x+2).(y+2).(x+y)}{xy}$
$ = -8-\dfrac{(-y).(-x).(-2)}{xy}$
$ = -8 - (-2) = -6$
Vậy $P \in \{0,-6\}$ với $x,y$ thỏa mãn đề bài.
b) Đặt $Q(x) = x^3+ax^2+b$
$P(x) = x^2-3x+2=(x-1).(x-2)$
Vì $Q(x) \vdots P(x)$ nên $Q(x) = (x-1).(x-2).H(x)$ $(*)$
Xét $x=1$ thay vào $(*)$ ta có :
$Q(1) = 0 ⇔ a+b=-1$ $(1)$
Xét $x=2$ thay vào $(*)$ ta có :
$Q(2) =0 ⇔4a+b=-16$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra : $\left\{ \begin{array}{l}a+b=-1\\4a+b=-16\end{array} \right.$
$⇔\left\{ \begin{array}{l}4a+4b=-4\\4a+b=-16\end{array} \right.$ $⇔\left\{ \begin{array}{l}3b=12\\4a+b=-16\end{array} \right.$ $⇔\left\{ \begin{array}{l}a=-5\\b=4\end{array} \right.$
Vậy $(a,b) = (-5,4)$
