Đặt m²=$n^{4}$-n²+2n+2 (m∈Z)
=($n^{4}$-2n²+1)+(n²+2n+1)
=(n²-1)²+(n+1)² (chỗ này bạn nhân từ dưới lên là được cái bên trên)
=(n-1)²(n+1)²+(n+1)² (chỗ này bạn nhân từ dưới lên là được cái bên trên)
=(n+1)²((n-1)²+1)
=(n+1)²(n²-2n+1+1)
⇒ m²=(n+1)²(n²-2n+2) (1)
Do m²; (n+1)² là số chính phương và n²-2n+2∈Z
Để (1) xảy ra ⇔ n²-2n+2 là số chính phương
Đặt p²=n²-2n+2 (p∈Z)
=(n²-2n+1)+1
=(n-1)²+1 (chỗ này bạn nhân từ dưới lên là được cái bên trên)
⇒ p²-(n-1)²=1
⇒ (p-n+1)(p+n-1)=1 (chỗ này bạn nhân từ dưới lên là được cái bên trên)
Do p,n∈Z ⇒ p-n+1∈Z và p+n-1∈Z.
Xảy ra các trường hợp: p-n+1=p+n-1=1 hoặc p-n+1=p+n-1=-1
Cả 2 trường hợp đều suy ra được:
p-n+1=p+n-1 ⇒ (p+n-1)-(p-n+1)=0
⇒ 2n-2=0 ⇒ n=1 (thỏa mãn)
⇒ p²=n²-2n+2=1²-2.1+2=1 (thỏa mãn là số chính phương)
Vậy n=1
