Vì n2 + 2006 là một số chính phương
=> n2 + 2006 = m2 ( m, n ∈ N; n < m ) (*)
=> m2 - n2 = 2006
=> m2 - mn + mn - n2 = 2006
=> ( m2 - mn ) + ( mn - n2 ) = 2006
=> m( m - n ) + n( m - n ) = 2006
=> ( m - n )( m + n ) = 2006
Ta thấy : m - n và m + n cùng tính chẵn lẻ ( vì ( m + n ) - ( m - n ) = m + n - m + n = 2n là số chẵn )
Mà 2006 ⋮ 2
=> ( m - n ) ⋮ 2 và ( m + n ) ⋮ 2
=> ( m - n )( m + n ) ⋮ ( 2.2 )
=> ( m - n )( m + n ) ⋮ 4
Mà 2006 \(⋮̸\) 4
=> ( m - n )( m + n ) e 2006 ! Trái với (*)
=> Không có giá trị nào của m,n để n2 + 2006 = m2
=> Không có giá trị nào của n để n2 + 2006 là một số chính phương
Vậy không có giá trị nào của n để n2 + 2006 là một số chính phương
