Đáp án:
a) Trong tam giác AMC có: NI cắt MC tại B
Áp dụng Menelaus ta có:
$\begin{array}{l}
\dfrac{{AI}}{{IM}}.\dfrac{{MB}}{{BC}}.\dfrac{{CN}}{{NA}} = 1\\
\Rightarrow \dfrac{{AI}}{{IM}}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{1} = 1\\
\Rightarrow \dfrac{{AI}}{{IM}} = 1\\
\Rightarrow AI = IM
\end{array}$
=> I là trung điểm của AM
b) Trong tam giác BNC có: MI cắt NC tại A
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \dfrac{{BI}}{{IN}}.\dfrac{{NA}}{{AC}}.\dfrac{{CM}}{{MB}} = 1\\
\Rightarrow \dfrac{{BI}}{{IN}}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{1} = 1\\
\Rightarrow \dfrac{{BI}}{{IN}} = 3
\end{array}$