Đáp án:
Giải thích các bước giải:
1. Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp.
Ta có: MA là tiếp tuyến của (O) tại A nên \(\angle IAM = {90^0}\)
Xét tứ giác \(AMEI\) có \(\angle IAM + \angle IEM = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(AMEI\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800)
2) Xét `ΔAMI` và `ΔBIN` có:
`\hat{MAI}=\hat{NBI}=90^{0}`
`\hat{AIM}=\hat{BNI}` (cùng phụ với `\hat{BIN}`)
Do đó: `ΔAMI~ΔBNI` (g-g)
Suy ra: `\frac{AM}{AI}=\frac{BI}{BN}` (2 cạnh tương ứng tỉ lệ)
`⇒AM.BN=AI.BI`
3) Ta có: `\hat{AEF}=\hat{BEF}` (cung AF = cung BF)
Nên `\hat{AEF}=\hat{BEF} = 90^{0} : 2 = 45^{0}`
Do đó `\hat{AMI}=\hat{AEI} = 45^{0}`
∆AMI vuông tại A `⇒ AI = IM.sin\ AMI`
Nên `IM =\frac{\frac{R}{2}}{sin\ 45^{0}}=\frac{\sqrt{2}}{2}R`
Tương tự có `IN =\frac{\frac{R}{2}+R}{sin\ 45^{0}} =\frac{3\sqrt{2}}{2}R`
Vậy `S_{MIN} =\frac{1}{2}IM.IN =\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}R.\frac{3\sqrt{2}}{2}R =\frac{3R^2}{4}` (đvdt)
