Đáp án:$x = \arctan \left( {\dfrac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}} \right) + k\pi ;x = \arctan \left( {\dfrac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}} \right) + k\pi (k \in Z)$;$x = \arctan \left( { - 2 + \sqrt 3 } \right) + k\pi ;x = \arctan \left( { - 2 - \sqrt 3 } \right) + k\pi (k \in Z)$

Giải thích các bước giải:

 ĐKXĐ: $x\ne k\dfrac{\pi}{2}(k\in Z)$

Ta có:

$\left( {tanx{\rm{ }} + 7} \right)tanx{\rm{ }} + \left( {cotx{\rm{ }} + 7} \right)cotx{\rm{ }} + {\rm{ }}14{\rm{ }} = {\rm{ }}0 (1)$

Đặt $tan x=t(t\ne 0)\to \cot x=\dfrac{1}{t}$ khi đó (1) trở thành:

$\begin{array}{l}
(t + 7)t + \left( {\dfrac{1}{t} + 7} \right)\dfrac{1}{t} + 14 = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {{t^2} + \dfrac{1}{{{t^2}}}} \right) + 7\left( {t + \dfrac{1}{t}} \right) + 14 = 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {t + \dfrac{1}{t}} \right)^2} - 2 + 7\left( {t + \dfrac{1}{t}} \right) + 14 = 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {t + \dfrac{1}{t}} \right)^2} + 7\left( {t + \dfrac{1}{t}} \right) + 12 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t + \dfrac{1}{t} =  - 3\\
t + \dfrac{1}{t} =  - 4
\end{array} \right.
\end{array}$

+TH1: 

$\begin{array}{l}
t + \dfrac{1}{t} =  - 3\\
 \Leftrightarrow {t^2} + 3t + 1 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = \dfrac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}\\
t = \dfrac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}
\end{array} \right.\\
x = \arctan \left( {\dfrac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}} \right) + k\pi ;x = \arctan \left( {\dfrac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}} \right) + k\pi (k \in Z)
\end{array}$

+TH2:

$\begin{array}{l}
t + \dfrac{1}{t} =  - 4\\
 \Leftrightarrow {t^2} + 4t + 1 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t =  - 2 + \sqrt 3 \\
t =  - 2 - \sqrt 3 
\end{array} \right.\\
x = \arctan \left( { - 2 + \sqrt 3 } \right) + k\pi ;x = \arctan \left( { - 2 - \sqrt 3 } \right) + k\pi (k \in Z)
\end{array}$

Kết hợp với ĐKXĐ ta có 4 họ nghiệm:

$x = \arctan \left( {\dfrac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}} \right) + k\pi ;x = \arctan \left( {\dfrac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}} \right) + k\pi (k \in Z)$;$x = \arctan \left( { - 2 + \sqrt 3 } \right) + k\pi ;x = \arctan \left( { - 2 - \sqrt 3 } \right) + k\pi (k \in Z)$

Vậy phương trình có các họ nghiệm là:$x = \arctan \left( {\dfrac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}} \right) + k\pi ;x = \arctan \left( {\dfrac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}} \right) + k\pi (k \in Z)$;$x = \arctan \left( { - 2 + \sqrt 3 } \right) + k\pi ;x = \arctan \left( { - 2 - \sqrt 3 } \right) + k\pi (k \in Z)$