$c+\frac{1}{b}=a+\frac{b}{a}$$\leftrightarrow c-a=\frac{b}{a}-\frac{1}{b}$ $\leftrightarrow c-a=\frac{b^2-a}{ab}$
Vì $c,a \in \mathbb{Z} \rightarrow c-a \in \mathbb{Z}$$\rightarrow b^2-a\ \vdots \ ab$ (1)
$\rightarrow ab^2-a^2\ \vdots \ ab$$\rightarrow a^2\ \vdots \ ab$$\rightarrow a\ \vdots \ b$
Đặt $a=kb \ (k \in \mathbb{Z}+)$
(1) trở thành $\rightarrow b^2-kb\ \vdots \ kb^2$ (2)$\rightarrow b^3-kb^2\ \vdots \ kb^2$
$\rightarrow b^3\ \vdots \ kb^2$$\rightarrow b\ \vdots \ k$ (3)
Từ (2) $\rightarrow kb^2-k^2b\ \vdots \ kb^2$$\rightarrow k^2b\ \vdots \ kb^2$$\rightarrow k\ \vdots \ b$ (4)
Từ (3) và (4) suy ra $k=b\ \rightarrow a=b^2\ \rightarrow ab=b^3$ là số lập phương
