Đề bài này là bất đẳng thức Cô-si với `3` số thực không âm nhé
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
`a+b≥2\sqrt{ab}`
`⇔(a+b)^2≥4ab`
Tương tự:
`(b+c)^2≥4bc`
`(c+a)^2≥4ac`
`⇒(a+b)^2 . (b+c)^2 . (c+a)^2≥4ab4bc4ca=6464a^2b^2c^2`
`⇔(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc` (@)
Ta có:
`a^3+b^3+c^3≥3abc` (@@)
`⇔(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc≥0`
`⇔(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)≥0`
`⇔(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-3ab-ac-bc)≥0`
`⇔(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)≥0`
`⇔a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca≥0`
`⇔2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)≥0`
`⇔a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2≥0`
`⇔(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≥0` (luôn đúng)
`⇒` @@ đúng
Từ @ và @@
`⇒a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)≥3abc+3.8abc`
`⇔(a+b+c)^3≥27abc`
`⇔a+b+c≥3`$\sqrt[3]{abc}$
`⇔(a+b+c)/3≥`$\sqrt[3]{abc}$
