Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) $ 2(x - y)² ≥ 0 ⇔ 2x² - 4xy + 2y² ≥ 0 $
$ ⇔ 3x² - 3xy + 3y² ≥ x² + xy + y² $
$ ⇔ x² - xy + y² ≥ \frac{1}{3}(x² + xy + y²) (đpcm)$
Dấu $'='$ xảy ra khi $x = y$
b) Áp dụng câu a) với $ a = \sqrt[]{x}; b = \sqrt[]{y}; c = \sqrt[]{z}$
$ \frac{a² - ab + b²}{a² + ab + b²} ≥ \frac{1}{3} ⇔ \frac{(a + b)(a² - ab + b²)}{a² + ab + b²} ≥ \frac{a + b}{3}$
$⇔ \frac{a³ + b³}{a² + ab + b²} ≥ \frac{a + b}{3} ⇔ \frac{2a³ + (b³ - a³)}{a² + ab + b²} ≥ \frac{a + b}{3}$
$⇔ \frac{2a³}{a² + ab + b²} + (b - a) ≥ \frac{a + b}{3} (1)$
Tương tự :
$ \frac{2b³}{b² + bc + c²} + (c - b) ≥ \frac{b + c}{3} (2)$
$ \frac{2c³}{c² + ca + a²} + (a - c) ≥ \frac{c + a}{3} (3)$
$(1) + (2) + (3):$
$\frac{2a³}{a² + ab + b²} + \frac{2b³}{b² + bc + c²} + \frac{2c³}{c² + ca + a²} ≥ \frac{2(a + b + c)}{3}$
$⇔\frac{x\sqrt[]{x}}{x + \sqrt[]{xy} + y} + \frac{y\sqrt[]{y}}{y + \sqrt[]{yz} + z} + \frac{z\sqrt[]{z}}{z + \sqrt[]{zx} + x} ≥ \frac{\sqrt[]{x} + \sqrt[]{y} + \sqrt[]{z}}{3}$
$⇔\frac{x\sqrt[]{x}}{x + \sqrt[]{xy} + y} + \frac{y\sqrt[]{y}}{y + \sqrt[]{yz} + z} + \frac{z\sqrt[]{z}}{z + \sqrt[]{zx} + x} ≥ \frac{2}{3}$
Dấu $'='$ xảy ra khi $\sqrt[]{x} = \sqrt[]{y} = \sqrt[]{z} = \frac{2}{3} ⇔ x = y = z = \frac{4}{9}$
