a) Xét $ΔMNH(\widehat{H} = 90^o)$ và $ΔKNH(\widehat{H} = 90^o)$ có:
$NH:$ cạnh chung
$MH = HK$ $(gt)$
Do đó $ΔMNH = ΔKNH$ (hai cạnh góc vuông)
b) Ta có: $\widehat{M} = 90^o - \widehat{P} = 90 - 30 = 60^o$
mà $\widehat{M} = \widehat{NKH}$ ($ΔMNH = ΔKNH$)
nên $\widehat{M} = \widehat{NKH} = 60^o$
⇒ $ΔMNK$ đều
c) Ta có $\widehat{KNP} = \widehat{NKM} - \widehat{P} = 60 - 30 = 30^o$
⇒ $ΔKNP$ cân tại $K$
⇒ $KP = KN$
Xét $ΔHNK$ vuông tại $H$ luôn có:
$KN > NH$ (cạnh huyền > cạnh góc vuông)
nên $KP > HN$
d) Ta có: $PE\perp NK$ $(gt)$
⇒ $NE\perp PQ$
$NH\perp MP$ $(gt)$
⇒ $PH\perp NQ$
Xét $ΔNPQ$ có:
$NE$ là đường cao ứng với cạnh $PQ$ ($NE\perp PQ$)
$PH$ là đường cao ứng với cạnh $NQ$ ($PH\perp NQ$)
$NE$ cắt $PH$ tại $K$
⇒ $K$ là trực tâm của $ΔNPQ$
⇒ $OK\perp NP$
e) Ta có: $HP = HK + KP$
$= MH + KN$
$= MH + MK$
$= MH + 2MH$
$=3MH$
Vậy $HP = 3HM$
