$\text{a) Áp dụng định lý Pytago vào các tam giác vuông ABH và ACH, ta được:}$
$AB^{2} = BH^{2} + AH^{2}$
$\Rightarrow AH^{2} = AB^{2} - BH^{2}$
$AC^{2} = CH^{2} + AH^{2}$
$\Rightarrow AH^{2} = AC^{2} - CH^{2}$
Do đó: $AB^{2} - BH^{2} = AC^{2} - CH^{2}$
Hay $AB^{2} + CH^{2} = AC^{2} + BH^{2}$
$\text{b) Áp dụng hệ thức lượng vào ∆ABH vuông tại H và ∆ACH vuông tại H, ta được:}$
$AH^{2} = AM.AB$
$AH^{2} = AN.AC$
$\Rightarrow AM.AB = AN.AC = AH^{2}$
$\text{c) Xét tứ giác AMHN có:}$
$\widehat{ANH} = 90^o \, (HN\perp AC)$
$\widehat{AMH} = 90^o \, (HM\perp AB)$
$\Rightarrow \widehat{ANH} + \widehat{AMH} = 180^o$
$\text{Do đó AMHN là tứ giác nội tiếp}$
$\Rightarrow \widehat{AMN} = \widehat{AHN}$ (cùng nhìn cạnh $AN$)
mà $\widehat{AHN} = \widehat{ACH}$ (cùng phụ $\widehat{NHC}$)
nên $\widehat{AMN} = \widehat{ACB}$
$\text{Xét ∆AMN và ∆ACB có:}$
$\widehat{A}:$ góc chung
$\widehat{AMN} = \widehat{ACB}$ $(cmt)$
Do đó $∆AMN\sim ∆ACB \, (g.g)$
