Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}
a){\sin ^6}x + {\cos ^6}x = \dfrac{7}{{16}}\\
 \Leftrightarrow {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - 3.{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) = \dfrac{7}{{16}}\\
 \Leftrightarrow 1 - \dfrac{3}{4}.{\sin ^2}2x = \dfrac{7}{{16}}\\
 \Leftrightarrow 1 - \dfrac{3}{4}.\dfrac{{1 - \cos 4x}}{2} = \dfrac{7}{{16}}\\
 \Leftrightarrow \cos 4x = \dfrac{{ - 1}}{2}\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\
4x = \dfrac{{ - 2\pi }}{3} + k2\pi 
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{2}\\
x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + k\dfrac{\pi }{2}
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)
\end{array}$

Vậy phương trình có các họ nghiệm là: $x = \dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{2} (k\in Z)$ và $x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + k\dfrac{\pi }{2} (k\in Z)$.

$\begin{array}{l}
b)1 + \cos x + \cos 2x + \cos 3x = 0\\
 \Leftrightarrow 1 + \cos x + 2{\cos ^2}x - 1 + 4{\cos ^3}x - 3\cos x = 0\\
 \Leftrightarrow 2{\cos ^3}x + {\cos ^2}x - \cos x = 0\\
 \Leftrightarrow \cos x\left( {\cos x + 1} \right)\left( {2\cos x - 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\cos x =  - 1\\
\cos x = \dfrac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\
x = \pi  + k2\pi \\
x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\
x = \dfrac{{ - \pi }}{3} + k2\pi 
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)
\end{array}$

Vậy phương trình có các họ nghiệm là: $x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi (k\in Z)$;$x = \pi  + k2\pi (k\in Z) $;$x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi (k\in Z)$ và $x = \dfrac{{ - \pi }}{3} + k2\pi (k\in Z) $

$\begin{array}{l}
c)\cos 3x - 4\cos 2x + 3\cos 3x = 0\\
 \Leftrightarrow \cos 3x = \cos 2x\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x = 2x + k2\pi \\
3x =  - 2x + k2\pi 
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k2\pi \\
x = k\dfrac{{2\pi }}{5}
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)
\end{array}$

Vậy phương trình có các họ nghiệm là: $x = k2\pi (k\in Z)$ và $x = k\dfrac{{2\pi }}{5}(k\in Z)$

$\begin{array}{l}
d)\sqrt 3 \cos 4x = 1\\
 \Leftrightarrow \cos 4x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4x = {\mathop{\rm arc}\nolimits} \cos \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) + k2\pi \\
4x =  - {\mathop{\rm arc}\nolimits} \cos \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) + k2\pi 
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{{\mathop{\rm arc}\nolimits} \cos \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}}{4} + k\dfrac{\pi }{2}\\
x = \dfrac{{ - {\mathop{\rm arc}\nolimits} \cos \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}}{4} + k\dfrac{\pi }{2}
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)
\end{array}$

Vậy phương trình có các họ nghiệm là: $x = \dfrac{{{\mathop{\rm arc}\nolimits} \cos \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}}{4} + k\dfrac{\pi }{2}(k\in Z)$ và $x = \dfrac{{ - {\mathop{\rm arc}\nolimits} \cos \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}}{4} + k\dfrac{\pi }{2}(k\in Z)$

$\begin{array}{l}
e)2\sin \left( {5x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \\
 \Leftrightarrow \sin \left( {5x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
5x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\
5x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi 
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\dfrac{{2\pi }}{5}\\
x = \dfrac{\pi }{{15}} + k\dfrac{{2\pi }}{5}
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)
\end{array}$

Vậy phương trình có các họ nghiệm là: $x = k\dfrac{{2\pi }}{5}(k\in Z)$ và $x = \dfrac{\pi }{{15}} + k\dfrac{{2\pi }}{5}(k\in Z)$