Ta có:
$A =\dfrac{3n-2}{2n+3}$
$2A = \dfrac{6n-4}{2n+3}$
$2A= \dfrac{6n+9-13}{2n+3}$
$2A = \dfrac{3(2n+3) - 13}{2n+3}$
$2A = 3 - \dfrac{13}{2n+3}$
$a$) +Để $A$ có giá trị lớn nhất thì : $2A$ có giá trị lớn nhất
$⇒$ $\dfrac{13}{2n+3}$ nhỏ nhất
$⇒$ $2n+3$ nguyên âm, lớn nhất
$⇒ 2n+3=-1 ⇔ n = -2$. Khi đó:
$2A = 3 - \dfrac{13}{-1} = 3 - (-13) = 16$
$⇔ A = 8$
Vậy $A$ đạt $GTLN=8$ khi $n=-2$
+ Để $A$ có giá trị nhỏ nhất thì : $2A$ có giá trị nhỏ nhất
$⇒$ $\dfrac{13}{2n+3}$ lớn nhất
$⇒$ $2n+3$ nguyên dương, nhỏ nhất
$⇒ 2n+3=1 ⇔ n = -1$. Khi đó:
$2A = 3 - \dfrac{13}{1} = 3 - 13 = -10$
$⇔ A = -5$
Vậy $A$ đạt $GTNN=-5$ khi $n=-1$
$b$) Đặt `d=ƯCLNNNN(3n-2;2n+3)`
$⇒$ $\left \{ {{3n-2\vdots d} \atop {2n+3 \vdots d}} \right.$
$⇒$ $3(2n+3) - 2(3n-2) \vdots d$
$⇔$ $6n + 9 - 6n + 4 \vdots d$
$⇔ 13 \vdots d$
$⇒$ $d$ $∈$ `{±1;±13}`
Ta có: $3n-2 \vdots 13$
$⇔ 3n - 2 = 13k$ ($k$ $∈$ $Z$)
$⇔ n = \dfrac{13k+2}{3}$
$⇒ n \neq \dfrac{13k+2}{3}$ thì $A$ là phân số tối giản.
