Đáp án:
$ a^{4} + b^{4} + c^{4} = 81$
$ a^{5} + b^{5} + c^{5} = 151$
Giải thích các bước giải:
$ ab + bc + ca = \frac{1}{2}[(a + b + c)² - (a² + b² + c²)] = \frac{1}{2}(3² - 5) = 2$
$ (a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(a + b + c)(ab + bc + ca) - 3abc$
$ ⇒ 3abc = a³ + b³ + c³ + 3(a + b + c)(ab + bc + ca) - (a + b + c)³$
$ = 7 + 3.3.2 - 3³ = 16 ⇒ abc = \frac{16}{3} $
$ a^{4} + b^{4} + c^{4} = (a² + b² + c²)² - 2(a²b² + b²c² + c²a²) $
$ = 25 - 2[(ab + bc + ca)² - 2abc(a + b + c)]$
$ = 25 - 2(2² - 2.\frac{16}{3}.3) = 81$
$ 35 = 5.7 = (a² + b² + c²)(a³ + b³ + c³)$
$ = a^{5} + b^{5} + c^{5} + a²b²(a + b) + b²c²(b + c) + c²a²(c + a)$
$ = a^{5} + b^{5} + c^{5} + a²b²(3 - c) + b²c²(3 - a) + c²a²(3 - b)$
$ = a^{5} + b^{5} + c^{5} + 3(a²b² + b²c² + c²a²) - 3abc(ab + bc + ca)$
$ = a^{5} + b^{5} + c^{5} + 3[(ab + bc + ca)² - 2abc(a + b + c)] - 3abc(ab + bc + ca)$
$ = a^{5} + b^{5} + c^{5} + 3(2² - 2\frac{16}{3}.3) - 3\frac{16}{3}.2$
$ = a^{5} + b^{5} + c^{5} - 116$
$ ⇒ a^{5} + b^{5} + c^{5} = 35 + 116 = 151$
