Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$ G = \frac{3x² - 8x + 6}{x² - 2x + 2} = \frac{2(x² - 2x + 2) + x² - 4x + 2}{x² - 2x + 2} = 2 + \frac{x² - 4x + 2}{x² - 2x + 2}$
Xét $M = G - 2 = \frac{x² - 4x + 2}{x² - 2x + 2}$
$ ⇒ M² - 2 = \frac{(x² - 4x + 2)²}{(x² - 2x + 2)²} - 2 $
$ = \frac{(x^{4} + 16x² + 4 - 8x³ + 4x² - 16x) - 2(x^{4} + 4x² + 4 - 4x³ + 4x² - 8x)}{(x² - 2x + 2)²}$
$ = - \frac{x^{4} - 4x² + 4}{(x² - 2x + 2)²} = - \frac{(x² - 2)²}{(x² - 2x + 2)²} ≤ 0$
$ ⇒ M² ≤ 2 ⇔ - \sqrt[]{2} ≤ M ≤ \sqrt[]{2}$
$ ⇔ - \sqrt[]{2} ≤ G - 2 ≤ \sqrt[]{2} ⇔ 2 - \sqrt[]{2} ≤ G ≤ 2 + \sqrt[]{2}$
$ ⇒ GTNN$ của $G = 2 - \sqrt[]{2} ⇔ x = \sqrt[]{2}$
và $ GTLN$ của $G = 2 + \sqrt[]{2} ⇔ x = - \sqrt[]{2}$
Cách 2 :
$ G = \frac{3x² - 8x + 6}{x² - 2x + 2} = \frac{2(x² - 2x + 2) + x² - 4x + 2}{x² - 2x + 2} = 2 + \frac{x² - 4x + 2}{x² - 2x + 2}$
Xét $M = G - 2 = \frac{x² - 4x + 2}{x² - 2x + 2} = \frac{x² - 2x}{x² - 2x + 2} + \frac{2 - 2x}{x² - 2x + 2} $
Đặt $ a = \frac{x² - 2x}{x² - 2x + 2} ⇒ a² = \frac{x^{4} - 4x³ + 4x²}{x^{4} + 4x² + 4 - 4x³ + 4x² - 8x}$
$ b = \frac{2 - 2x}{x² - 2x + 2} ⇒ b² = \frac{4x² - 8x + 4}{x^{4} + 4x² + 4 - 4x³ + 4x² - 8x}$
$ ⇒ a² + b² = 1$
Áp dụng $ BĐT : - \sqrt[]{2(a² + b²)} ≤ a + b ≤ \sqrt[]{2(a² + b²)}$
$ ⇒ - \sqrt[]{2} ≤ a + b ≤ \sqrt[]{2} ⇔ - \sqrt[]{2} ≤ G - 2 ≤ \sqrt[]{2}$
$ ⇔ 2 - \sqrt[]{2} ≤ G ≤ 2 + \sqrt[]{2}$
