Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a)
$\left \{ {{x + y + xy = m} \atop {x²y + xy² = 3m - 9}} \right. ⇔\left \{ {{xy + (x + y) = m} \atop {xy(x + y) = 3m - 9}} \right.(*)$
$ ⇒ S = x + y; P = xy $ là nghiệm $PT :$
$ t² - mt + 3m - 9 = 0 ⇔ (t - 3)(t - m + 3) = 0$
Vậy $(*)$ tương đương với 2 hệ:
$\left \{ {{x + y = 3} \atop {xy = m - 3}} \right. (1)$ và $\left \{ {{x + y = m - 3} \atop {xy = 3}} \right.(2)$
$(1) ⇒ x; y$ là nghiệm $ PT : u² - 3u + m - 3 = 0$
có nghiệm khi $: Δ_{1} = (-3)² - 4(m - 3) = 21 - 4m ≥ 0 ⇔ m ≤ \frac{21}{4} (*)$
$(2) ⇒ x; y$ là nghiệm $ PT : v² - (m - 3)v + 3 = 0$
có nghiệm khi $: Δ_{2} = (3 - m)² - 4.3 = m² - 6m - 3 ≥ 0$
$ ⇔ m ≤ 3 - 2\sqrt[]{3}; m ≥ 3 + 2\sqrt[]{3}(**) $
Kết hợp $(*); (**) ⇒ m ≤ \frac{21}{4} ; m ≥ 3 + 2\sqrt[]{3}$
b) Điều kiện $ x ≥ 4; y ≥ 1$
Đặt $ a = \sqrt[]{x - 4} ≥ 0; b = \sqrt[]{y - 1} ≥ 0 ⇒ x + y = a² + b² + 5$
$\left \{ {{\sqrt[]{x - 4} + \sqrt[]{y - 1} = 4 } \atop {x + y = 3m}} \right. ⇔ \left \{ {{a + b = 4 } \atop {a² + b² = 3m - 5}} \right.$
$ ⇔ \left \{ {{a + b = 4 } \atop {(a + b)² = 2ab + 3m - 5}} \right.⇔ \left \{ {{a + b = 4 } \atop {16 = 2ab + 3m - 5}} \right.⇔ \left \{ {{a + b = 4 } \atop {ab = \frac{1}{2}(21 - 3m)}} \right.$
$⇒ a, b ≥ 0 $ là nghiệm $PT : t² - 4t + \frac{1}{2}(21 - 3m)$
$ Δ' = 4 - \frac{1}{2}(21 - 3m) ≥ 0 ⇔ m ≥ \frac{13}{3} (1)$
$ a ≥ 0; b ≥ 0 ⇒ 21 - 3m ≥ 0 ⇔ m ≤ \frac{21}{3} (2)$
$(1); (2) ⇒ \frac{13}{3} ≤ m ≤ \frac{21}{3}$
