Đáp án: $C$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$x^2+y^2+4x+\sqrt{1+(x+2)^4}=\sqrt{y^4-8y^2+17}$

$\to (x^2+4x+4)+(y^2-4)+\sqrt{1+(x+2)^4}=\sqrt{(y^2-4)^2+1}$

$\to (x+2)^2+(y^2-4)+\sqrt{1+(x+2)^4}=\sqrt{(y^2-4)^2+1}$

$\to\sqrt{1+(x+2)^4}+ (x+2)^2=\sqrt{(y^2-4)^2+1}-(y^2-4)$

$\to\dfrac{1+(x+2)^4-(x+2)^4}{\sqrt{1+(x+2)^4}- (x+2)^2}=\dfrac{(y^2-4)^2+1-(y^2-4)^2}{\sqrt{(y^2-4)^2+1}+(y^2-4)}$

$\to\dfrac{1}{\sqrt{1+(x+2)^4}- (x+2)^2}=\dfrac{1}{\sqrt{(y^2-4)^2+1}+(y^2-4)}$

$\to \sqrt{1+(x+2)^4}- (x+2)^2=\sqrt{(y^2-4)^2+1}+(y^2-4)$

$\to (x+2)^2+(y^2-4)= \sqrt{1+(x+2)^4}-\sqrt{(y^2-4)^2+1}$

Mà $(x+2)^2+(y^2-4)+\sqrt{1+(x+2)^4}=\sqrt{(y^2-4)^2+1}$

$\to (x+2)^2+(y^2-4)=-\sqrt{1+(x+2)^4}+\sqrt{(y^2-4)^2+1}$

$\to -\sqrt{1+(x+2)^4}+\sqrt{(y^2-4)^2+1}=\sqrt{1+(x+2)^4}-\sqrt{(y^2-4)^2+1}$

$\to 2\sqrt{1+(x+2)^4}=2\sqrt{(y^2-4)^2+1}$

$\to 1+(x+2)^4=(y^2-4)^2+1$

$\to (x+2)^4=(y^2-4)^2$

$\to (x+2)^2=\pm (y^2-4)$

Nếu $(x+2)^2=y^2-4\to y^2\ge 4\to y\ge 2$ hoặc $y\le -2$

$\to y^2=(x+2)^2+4\to P=x^2+(x+2)^2+4$

$\to P=2x^2+4x+8$

$\to P=2(x+1)^2+6\ge 6$

Nếu $(x+2)^2=-y^2+4\to -y^2+4\ge 0\to y\le 4\to -2\le y\le 2$

$\to y^2=-(x+2)^2+4$

$\to P=-4x$

Mà $(x+2)^2=-y^2+4\le 4$

$\to (x+2)^2\le 4$

$\to -4\le x\le 0$

$\to 0\le 4x\le 16$

$\to 0\le P\le 16$

Kết hợp $2$ trường hợp $\to 0\le P\le 16$

$\to M=16, m=0\to M(1+m)=16\to C$

Đáp án:

Giải thích các bước giải: Tham khảo

$ x² + y² + 4x + \sqrt[]{1 + (x + 2)^{4}} = \sqrt[]{y^{4} - 8y² + 17} $ 

$⇔(x + 2)² - (4 - y²) + \sqrt[]{1 + (x + 2)^{4}} - \sqrt[]{1 + (4 - y²)²} = 0 $

$⇔[(x + 2)² - (4 - y²)].[\sqrt[]{1 + (x + 2)^{4}} + \sqrt[]{1 + (4 - y²)²}] + [(x + 2)^{4} - (4 - y²)²] = 0 $ 

$⇔[(x + 2)² - (4 - y²)].[\sqrt[]{1 + (x + 2)^{4}} + \sqrt[]{1 + (4 - y²)²} + (x + 2)² + (4 - y²)] = 0 $  

$⇔(x + 2)² - (4 - y²) = 0 ⇔ x² + y² = - 4x $

( vì $\sqrt[]{1 + a²} > - a ; \sqrt[]{1 + b²} > - b ⇒ \sqrt[]{1 + a²} + \sqrt[]{1 + b²} + a + b > 0$ với $∀a,b)$

Vì $:(x + 2)² - (4 - y²) = 0 ⇒ (x + 2)² = 4 - y² ≤ 4$

$ ⇔ - 2 ≤ x + 2 ≤ 2 ⇔ - 4 ≤ x ≤ 0 ⇔ 0 ≤ - 4x ≤ 16$

$ ⇒ 0 ≤ P = - 4x ≤ 16 ⇒ m = 0; M = 16 ⇒ M(1 + m) = 16$