a) Ta có:
$MD\perp AB \, (gt)$
$\Rightarrow \widehat{MDA} = 90^o$
$ME\perp AC\, (gt)$
$\Rightarrow \widehat{MED} = 90^o$
Xét tứ giác $ADME$ có:
$\widehat{A} = \widehat{D} = \widehat{E} = 90^o$
Do đó $ADME$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow AM = DE$
b) Ta có: $M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$ $(gt)$
$\Rightarrow MA = MB = MC$
$\Rightarrow ∆MAB$ cân tại $M$
Ta lại có $MD\perp AB$
$\Rightarrow MD$ là phân giác của $\widehat{BMA}$, $BD = DA$
$\Rightarrow \widehat{BMD} = \widehat{AMD}$
mà $\widehat{AMD} = \widehat{EDM}$ ($ADME$ là hình chữ nhật)
nên $\widehat{BMD} = \widehat{EDM}$
$\Rightarrow ED//BC$
hay $ED//IK$
Mặt khác ta có: $IB = IM \, (gt)$
$BD = DA$
$\Rightarrow DI$ là đường trung bình
$\Rightarrow DI//AM$
Chứng minh tương tự ta được: $EK//AM$
$\Rightarrow DI//EK \, (//AM)$
Xét tứ giác $DIKE$ có:
$ED//IK\, (cmt)$
$DI//EK \, (cmt)$
Do đó $DIKE$ là hình bình hành
c) $DIKE$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow \widehat{DIK} = \widehat{EKI} = 90^o$
$\Rightarrow DI\perp IK$
Hay $DI\perp BM$
mà $BI = IM$
$\Rightarrow ∆BDM$ vuông cân tại $D$
$\Rightarrow \widehat{B} = 45^o$
$\Rightarrow ∆ABC$ vuông cân tại $A$
Vậy $∆ABC$ vuông cân tại $A$ thì $DIKE$ là hình chữ nhật
