+) TH1: Nếu x + y + t + z ≠ 0
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
$\frac{x}{y + z + t}$ = $\frac{y}{x + z + t}$ = $\frac{z}{x + y + t}$ = $\frac{t}{x + y + z}$ = $\frac{x + y + z + t}{3(x + y + z + t)}$ =$\frac{1}{3}$
=> 3x = y + z + t
=> 4x = x + y + z + t (1)
=> 3y = x + z + t
=> 4y = x + y + z + t (2)
=> 3z = x + y + t
=> 4z = x + y + z + t (3)
=> 3t = x + y + z
=> 4t = x + y + z + t (4)
Từ (1) ; (2) ; (3) ; (4) => x = y = z = t
⇒ $\frac{x + y}{z + t}$ + $\frac{y + z}{x + t}$ + $\frac{z + t}{x + y}$ + $\frac{x + t}{y + z} $ = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
+) TH2: Nếu x + y + z + t = 0
=> x + y = -(z + t)
y + z = -(x + t)
t + z = -(x + y)
t + x = -(y + z)
$\frac{x + y}{z + t}$ = $\frac{y + z}{x + t}$ = $\frac{z + t}{x + y}$ = $\frac{x + t}{y + z} $ = -1
=> $\frac{x + y}{z + t}$ + $\frac{y + z}{x + t}$ + $\frac{z + t}{x + y}$ + $\frac{x + t}{y + z} $ = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -4
Từ 2 trường hợp trên, ta có đpcm
