Bài 4:
a, Xét tứ giác ABKH có:
AB // DC ( vì ABCD là hình thang cân)
⇒ AB // KH ( K, H ∈ CD)
⇒ ABKH là hình thang
Mà ∠AHK = 90 độ (gt)
⇒ ABKH là hình chữ nhật
⇒ AB = KH (1)
+, Ta có:
∠DAB = ∠CBA (vì ABCD là hình thang cân)
⇔ ∠DAH + ∠HAB = ∠CBK + ∠KBA
Mà ∠HAB = ∠KBA (vì ABKH là hình chữ nhật)
⇒ ∠DAH = ∠CBK (2)
+, Xét ΔDHA và ΔCKB có:
∠DHA = ∠CKB = 90 độ (gt)
AD = BC ( vì ABCD là hình thang cân)
∠DAH = ∠CBK (theo chứng minh (2))
⇒ ΔDHA = ΔCKB (cạnh huyền - góc nhọn)
⇒ DH = CK ( 2 cạnh tương ứng) (3)
+, Ta lại có:
CD = DH + HK + CK
Mà DH = CK (theo chứng minh (3))
và HK = AB (theo chứng minh (1))
⇒ CD = 2DH + AB
⇔ 2DH = CD - AB
⇒ DH = $\frac{CD-AB}{2}$ (đpcm)
b. Ta có: DH = $\frac{CD-AB}{2}$ (phần a)
⇒ DH = $\frac{14-6}{2}$ = 4 (cm)
+, Xét ΔDHA có ∠DHA = 90 độ (gt). AD ĐL Py-ta-go đảo ta có:
AH² = AD² - HD² = 5² - 4² = 9 (cm)
⇒ AH = 3 (cm)
Vậy HD = 4 cm và AH = 3 cm
Bài 5:
a, Vì AB // CD
⇒ ∠OAB = ∠ADC (ở vị trí 2 góc trong cùng phía)
và ∠OBA = ∠BCD (ở vị trí 2 góc trong cùng phía)
Mà ∠ADC = ∠BCD (vì ABCD là hình thang cân)
⇒ ∠OAB = ∠OBA
⇒ ΔAOB cân tại O (đpcm)
b, Xét ΔABD và ΔBAC,ta có:
AD=BC (vì ABCD là hình thang cân)
∠DAB = ∠CBA (vì ABCD là hình thang cân)
AB chung
⇒ ΔABD = ΔBAC (c.g.c) (đpcm)
c, Ta có:
∠ADC = ∠BCD (vì ABCD là hình thang cân)
⇒ ∠ADE + ∠EDC = ∠BCE + ∠ECD
Mà ∠ADE = ∠BEC (ΔABD = ΔBAC)
⇒ ∠EDC = ∠ECD
⇒ ΔEDC cân tại E
⇒ ED = EC (đpcm)
d, Ta có: OD = OD + AD và OC = OB + BC
Mà OA = OB ( vì ΔOAB cân tại O)
và AD = BC ( vì ABCD là hình thang cân)
⇒ OD = OC (1)
⇒ ΔOAC là tâm giác cân tại O
+, Xét ΔODE và ΔOCE có:
OD = OC (cmt)
∠ODE = ∠OCE (vì ΔDAB = ΔCBA)
DE = CE (vì ΔEDC cân tại E)
⇒ΔODE = ΔOCE (c.g.c)
⇒ ∠DOE = ∠COE (2 góc tương ứng)
⇒ OE là tia phân giác của ∠DOC (2)
+, Gọi giao điểm của OE và CD là K
Xét ΔODK và ΔOCK có:
∠ODK = ∠OCK ( vì ABCD là hình bình hành)
OD = OC (ΔODC cân tại O)
∠KOD = ∠KOC (ΔODE = ΔOCE)
⇒ ΔODK = ΔOCK (g.c.g)
⇒ DK = CK
⇒ OK là đường trung tuyến của ΔODC (3)
+, Từ (1), (2) và (3) ⇒OK là đường trung trực của ΔODC và ΔOAB
⇒ OK là đường trung trực của CD và AB
hay OE là đường trung trực của CD và AB ( E ∈ OK) (đpcm)
