Đáp án:
$\not \exists m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán
Giải thích các bước giải:
Ta có:
${x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 2m + 4 = 0\left( 1 \right)$
Phương trình $(1)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1;x_2$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \Delta ' > 0\\
\Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} - \left( {{m^2} - 2m + 4} \right) > 0\\
\Leftrightarrow - 2m > 0 \Leftrightarrow m < 0
\end{array}$
Khi đó:
Theo ĐL Viet ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m - 2} \right)\\
{x_1}{x_2} = {m^2} - 2m + 4
\end{array} \right.$
Ta có:
$\begin{array}{l}
\dfrac{2}{{x_1^2 + x_2^2}} - \dfrac{1}{{{x_1}{x_2}}} = \dfrac{1}{{15m}}\\
\Leftrightarrow \dfrac{{ - {{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}}}{{\left( {x_1^2 + x_2^2} \right){x_1}{x_2}}} = \dfrac{1}{{15m}}\\
\Leftrightarrow 15m{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + \left( {x_1^2 + x_2^2} \right){x_1}{x_2} = 0\\
\Leftrightarrow 15m\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right] + \left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]{x_1}{x_2} = 0\\
\Leftrightarrow 15m\left[ {{{\left( { - 2\left( {m - 2} \right)} \right)}^2} - 4\left( {{m^2} - 2m + 4} \right)} \right] + \left[ {{{\left( { - 2\left( {m - 2} \right)} \right)}^2} - 2\left( {{m^2} - 2m + 4} \right)} \right]\left( {{m^2} - 2m + 4} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {m^4} - 8{m^3} + 16{m^2} - 92m + 16 = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {{m^2} - 4m} \right)^2} - 92m + 16 = 0
\end{array}$
Mà ta có điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt là: $m<0$
$ \Rightarrow - 92m > 0 \Rightarrow {\left( {{m^2} - 4m} \right)^2} - 92m + 16 > 0$
$\to \not \exists m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy $\not \exists m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
